Q 10 Verifique se a transformação linear T é um isomorfismo.
T: R^4 M2(R) tal que T(e1)=(ll1 & 1 0 & 0), T(e2)=(ll0 & 1 1 & 0), T(e3)=(ll0 & 0 1 & 1) e T(e4)=(ll1 & 0 0 & 1);

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^4 to M2(R)
definida pelas imagens dos vetores padrão e1,e2,e3,e4. Pergunta-se se T é isomorfismo. Como
dim R^4=4 e dim M2(R)=4, basta mostrar que T é injetora (ou, equivalentemente, que suas imagens formam base de M2(R)).

Passo 2

Para ver se T é injetora, consideramos a combinação linear nula
a,T(e1) + b,T(e2) + c,T(e3) + d,T(e4) = 02times2
Como
T(e1)=1&10&0, T(e2)=0&11&0, T(e3)=0&01&1, T(e4)=1&00&1,
temos

Passo 3

somando as matrizes com coeficientes a,b,c,d obt’e m-se
a1&10&0 +b0&11&0 +c0&01&1 +d1&00&1 = a + d & a + b [6pt] b + c & c + d = 0&00&0 ]

Passo 4

Igualando entradas a zero, vem o sistema
a + d = 0, a + b = 0, b + c = 0, c + d = 0
Dessa forma b=-a, c=a, d=-a, e a primeira equação fica a+(-a)=0 (verdadeiro). Logo existe solução não-trivial (por exemplo a=1,b=-1,c=1,d=-1), ou seja ker Tneq0.

Resposta

A transformação T não é injetora, logo não é isomorfismo.

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