Verifique se a função ,\mathbb{R}^{2}$. , onde e .
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se a aplicação , onde e , é um produto interno em . Para isso precisamos checar três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Bilinearidade e simetria.
– Bilinearidade: cada termo de é produto de uma coordenada de por uma de , somados, então é linear em e em .
– Simetria: trocando trocamos e , mas
permanece inalterado, logo .
Passo 3
Positividade definida. Calculamos
Passo 4
Associamos essa forma quadrática à matriz
pois lang<= u,urang<= = [x1;y1],A,[x1;y1]^T.
Passo 5
Verificamos os menores principais de A:
detl([1]r)=1>0, det(A)=1cdot5-(-2)^2=5-4=1>0
Como ambos são positivos, A é definida positiva, logo lang<= u,urang<=>0 para todo uneq(0,0).
Resposta
Sim, lang<=,,,rang<= é bilinear, simétrica e definida positiva, portanto define um produto interno em R^2.