Verifique se a função lang<=, rang<= define um produto interno sobre o \mathbb{R}^{2}$.
, onde , onde e e .

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a aplicação
lang<= u,vrang<= = x1x2 - 2x1y2 - 2x2y1 + 5y1y2, onde u=(x1,y1) e v=(x2,y2), é um produto interno em R^2. Para isso precisamos checar três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Bilinearidade e simetria.
– Bilinearidade: cada termo de lang<= u,vrang<= é produto de uma coordenada de u por uma de v, somados, então é linear em u e em v.
– Simetria: trocando urightarrow v trocamos x1rightarrow x2 e y1rightarrow y2, mas
x1x2-2x1y2-2x2y1+5y1y2
permanece inalterado, logo lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.

Passo 3

Positividade definida. Calculamos
lang<= u,urang<= = x1^2 -2cdot2,x1y1 +5y1^2 = x1^2 -4x1y1 +5y1^2

Passo 4

Associamos essa forma quadrática à matriz
A = 1 & -2 -2 & 5 ,
pois lang<= u,urang<= = [x1;y1],A,[x1;y1]^T.

Passo 5

Verificamos os menores principais de A:
detl([1]r)=1>0, det(A)=1cdot5-(-2)^2=5-4=1>0
Como ambos são positivos, A é definida positiva, logo lang<= u,urang<=>0 para todo uneq(0,0).

Resposta

Sim, lang<=,,,rang<= é bilinear, simétrica e definida positiva, portanto define um produto interno em R^2.

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