Defina, por indução matemática em k, a função chi+^k que satisfaz: chi+^1=H, a função de Heavside, e chi+^k=H * chi+^k-1, para k>1.
a) Calcule todas as funções χ+^k e todas as suas derivadas.

Passo 1

O enunciado define a família de distribuições
chi+^1=H (função de Heaviside) e, para k>1,
chi+^k ;=; H * chi+^k-1,
onde * é a convolução no eixo real. O objetivo é achar uma fórmula fechada para chi+^k(t) e para todas as suas derivadas (como distribuições).

Passo 2

Verificamos o caso base k=1: por hipótese chi+^1(t)=H(t). Isso bate com
t^1-1(1-1)!H(t) =t^00!H(t)=H(t)

Passo 3

Hipótese de indução: suponha para algum k-1>=1 que
chi+^k-1(t) =t^k-2(k-2)!,H(t)
Então
chi+^k(t) =(H*chi+^k-1)(t) =integral-infty^inftyH(tau),(t-tau)^k-2(k-2)!H(t-tau),dtau
Como H(tau)H(t-tau) limita a integral a 0<=tau<= t,
chi+^k(t) =1(k-2)!integral0^t(t-tau)^k-2dtau;H(t) =t^k-1(k-1)!,H(t)
Logo a fórmula vale para k.

Passo 4

Por indução concluímos que, para todo inteiro k>=1,
boxed chi+^k(t) =t^k-1(k-1)!,H(t)

Passo 5

Agora calculamos a derivada no sentido de distribuições. Para k=1 temos
ddtchi+^1(t) =ddtH(t)=de<a(t)
Para k>=2, usando chi+^k(t)=t^k-1H(t)/(k-1)! e
tfrac ddt[t^k-1H(t)] = (k-1)t^k-2H(t)+t^k-1de<a(t),
notamos que t^k-1de<a(t)=0. Assim
ddtchi+^k(t) =k-1(k-1)!,t^k-2H(t) =t^k-2(k-2)!H(t) =chi+^k-1(t)

Passo 6

Iterando, para 1<= j<k obtemos
d^jdt^jchi+^k(t) =chi+^,k-j(t) =t^,k-1-j(k-1-j)!,H(t)
Em particular, no passo j=k aparece
d^kdt^kchi+^k(t) =chi+^0(t)equivde<a(t),
e para j>k todas as derivadas são zero.

Resposta

chi+^k(t)=t^k-1(k-1)!,H(t), d^jdt^jchi+^k(t) = t^k-1-j(k-1-j)!,H(t),&1<= j<k,[1ex] de<a(t),&j=k,[1ex] 0,&j>k ]

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