Defina, por indução matemática em
, a função
que satisfaz:
, a função de Heavside, e
, para
.
a) Calcule todas as funções
e todas as suas derivadas.
a) Calcule todas as funções
Passo 1
O enunciado define a família de distribuições
(função de Heaviside) e, para
,
onde
é a convolução no eixo real. O objetivo é achar uma fórmula fechada para
e para todas as suas derivadas (como distribuições).
Passo 2
Verificamos o caso base
: por hipótese
. Isso bate com
Passo 3
Hipótese de indução: suponha para algum
que
Então
Como
limita a integral a
,
Logo a fórmula vale para
.
Passo 4
Por indução concluímos que, para todo inteiro
,
Passo 5
Agora calculamos a derivada no sentido de distribuições. Para
temos
Para
, usando
e
,
notamos que . Assim
notamos que
Passo 6
Iterando, para
obtemos
Em particular, no passo
aparece
e para
todas as derivadas são zero.