Exercício 1. (D.K. ex. 11.3) Seja dado uma função
. Mostre que as seguintes propriedades de
são equivalentes:
i)
é uma função contínua linear que comuta com as derivadas
, ou seja,
.
ii) Existe uma distribuição
tal que
, para todo
.
i)
ii) Existe uma distribuição
Passo 1
O enunciado considera um operador linear contínuo
que comuta com as derivadas parciais . Queremos mostrar que isso é equivalente a existir uma distribuição
tal que
que comuta com as derivadas parciais
para todo
.
Passo 2
Mostramos primeiro que (ii)
(i). Se existe
com
então:
.
é linear e contínua, pois convolução com distribuição preserva essas propriedades de
.
. Para cada
,
pela propriedade de troca de derivada e integral (ou ação de distribuição). Logo
isto é,
Passo 3
Agora mostramos (i)
(ii). Pelo Teorema do Núcleo de Schwartz existe uma distribuição
tal que, para todo
e
,
Passo 4
Como
comuta com
, temos para todo
e todo
:
No sentido de distribuições em
isso se traduz em
ou seja,
para cada
.
Passo 5
A equação
significa que
é invariante sob a translação simultânea
Dessa invariância conclui\‐se que existe uma distribuição
tal que
Uma forma de ver isso é mudar variáveis para
e
e usar que nenhuma dependência em
persiste.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos
Logo
é exatamente convolução com a distribuição
.
Resposta
As propriedades (i) e (ii) são equivalentes.