Exercício 1. (D.K. ex. 11.3) Seja dado uma função A: Cc^infty(R^n) C^infty(R^n). Mostre que as seguintes propriedades de A são equivalentes:
i) A é uma função contínua linear que comuta com as derivadas partialj, ou seja, partialj A=A partialj.
ii) Existe uma distribuição u in D^prime(R^n) tal que A(phi)=u * phi, para todo phi in Cc^infty(R^n).

Passo 1

O enunciado considera um operador linear contínuo
A:Cc^infty(R^n)to C^infty(R^n)
que comuta com as derivadas parciais partialj. Queremos mostrar que isso é equivalente a existir uma distribuição uinD'(R^n) tal que
A(phi)=u*phi
para todo phiin Cc^infty(R^n).

Passo 2

Mostramos primeiro que (ii) implies(i). Se existe uinD'(R^n) com
A(phi)=u*phi,
então:
1. A é linear e contínua, pois convolução com distribuição preserva essas propriedades de Cc^inftyto C^infty.
2. Para cada j,
partialjl(u*phir) = u*l(partialjphir)
pela propriedade de troca de derivada e integral (ou ação de distribuição). Logo
partialjA(phi) =A(partialjphi),
isto é, partialjA=A,partialj

Passo 3

Agora mostramos (i) implies(ii). Pelo Teorema do Núcleo de Schwartz existe uma distribuição
KinD'(R^ntimesR^n)
tal que, para todo phiin Cc^infty(R^n) e xinR^n,
A(phi)(x) =llang<= K(x,cdot),,phi(cdot)rrang<=

Passo 4

Como A comuta com partialj, temos para todo phi e todo x:
partialjllang<= K(x,cdot),phi(cdot)rrang<= =llang<= K(x,cdot),partialjphi(cdot)rrang<=
No sentido de distribuições em R^nxtimesR^ny isso se traduz em
partialxjK(x,y) =-partialyjK(x,y),
ou seja,
(partialxj+partialyj),K=0
para cada j.

Passo 5

A equação
(partialxj+partialyj),K=0
significa que K é invariante sob a translação simultânea
(x,y)mapsto(x+h,;y+h)
Dessa invariância conclui\‐se que existe uma distribuição uinD'(R^n) tal que
K(x,y)=u(x-y)
Uma forma de ver isso é mudar variáveis para s=x-y e t=y e usar que nenhuma dependência em t persiste.

Passo 6

Substituindo K(x,y)=u(x-y) em
A(phi)(x) =llang<= K(x,cdot),phi(cdot)rrang<=
obtemos
A(phi)(x) =llang<= u(x-cdot),,phi(cdot)rrang<= =(u*phi)(x)
Logo A é exatamente convolução com a distribuição u.

Resposta

As propriedades (i) e (ii) são equivalentes.

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