9-Demonstre que para uma onda plana no meio linear, isotrópico e homogèneo de permissividade \varepsilon, permeabilidade \mu e condutividade \sigma, a impedância Z é um número complexo e é dada por
Z=Z_{r}+i Z_{i}=\frac{\mu w}{\left(1+Q^{2}\right)^{1 / 4}} e^{-i \gamma}
sendo
\left\{\begin{array}{c} Q=\frac{a}{w c} \\\ \gamma=\arctan (Q) \end{array}\right.
onde definimos a impedância por \vec{H}=\frac{1}{2}(\hat{r} \times \vec{E}).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido, explicitando todas as informações):
\text{Dado: meio linear, isotrópico e homogêneo com } \varepsilon,\\ \mu,\\ \sigma.óê
O enunciado pede para demonstrar que a impedância é um número complexo e tem a forma desejada:
Z=Z_{r}+i Z_{i}=\frac{\mu w}{\left(1+Q^{2}\right)^{1 / 4}} e^{-i \gamma}
com
\left\{\begin{array}{l} Q=\dfrac{a}{w c},\\[6pt] \gamma=\arctan(Q), \end{array}\right.
e foi dada a definição (no enunciado) da impedância via a relação entre \vec{E} e \vec{H}, escrita aí como \vec{H}=\dfrac{1}{2}(\hat{r}\times\vec{E}) (mais abaixo eu uso a forma usual \vec{H}=\dfrac{1}{Z}(\hat{r}\times\vec{E}) para extrair Z; se a constante 1/2 do enunciado for apenas um fator de notação, a forma final de Z aparece como relação espectral entre E e H).\n
Todas as quantidades que usarei explicitamente: \omega é a frequência angular; c será a velocidade de fase no meio definida por c=1/\sqrt{\mu\varepsilon}; assumimos solução senoidal no tempo (representação fasorial) para campos eletromagnéticos.]

Passo 2

Escrevendo as equações de Maxwell no domínio da frequência (convenção fasorial e^{i\omega t}; isso transforma \partial/\partial t em i\omega) para um meio com condutividade \sigma:
\nabla\times\vec{E}=-i\omega\mu\vec{H}, \qquad \nabla\times\vec{H}=(\sigma+i\omega\varepsilon)\vec{E}.
Explicação didática rápida: a primeira equação vem de Faraday e a segunda vem da Lei de Ampère incluindo a corrente ôhmica \vec{J}=\sigma\vec{E} e o deslocamento \partial\vec{D}/\partial t=i\omega\varepsilon\vec{E}. Em regime senoidal usamos a notação complexa (fasores) e trabalhamos com amplitudes complexas — daí a impedância complexa aparece naturalmente.

Passo 3

Procuro soluções de onda plana na direção \hat{r}: tomar campos proporcionais a e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} com \vec{k}=k\hat{r}. Para uma onda plana transversal (E e H perpendiculares a \hat{r}) vale a identidade (resultado padrão para ondas planas)
\vec{k}\times\vec{E}= -\omega\mu\vec{H}.
Explicação: a igualdade resulta de substituir a forma de onda na equação \nabla\times\vec{E}=-i\omega\mu\vec{H} e usar \nabla\times(\text{fase}) = i\vec{k}\times(\text{amplitude}). Rearranjando,
\vec{H} = -\frac{1}{\omega\mu}\,\vec{k}\times\vec{E}.
Como \vec{k}=k\hat{r}, isso dá a relação vetorial de orientação entre \vec{H} e \vec{E}. A impedância escalar (intrínseca) é obtida pela razão das amplitudes; para a componente transversal obtém-se a relação escalar
Z\equiv\frac{E}{H}=\frac{\omega\mu}{k}.
Comentário didático: essa é uma fórmula muito útil — ela diz que a impedância da onda é simplesmente \omega\mu dividido pela constante de propagação k. Note que k pode ser complexo em meios condutores, portanto Z também será complexo.

Passo 4

Agora obtenho a constante de propagação k. Das equações de Maxwell para a onda plana segue a equação de onda complexa
k^{2}=\omega^{2}\mu\varepsilon_{c}, \qquad \text{onde} \qquad \varepsilon_{c}=\varepsilon-\frac{i\sigma}{\omega}
é a permissividade complexa efetiva do meio (isso agrupa o efeito da condutividade). Explicação: combinar as equações das etapas anteriores leva a \nabla\times(\nabla\times\vec{E})=k^{2}\vec{E}=-\omega^{2}\mu\varepsilon_{c}\vec{E}, daí a expressão para k^{2}.

Passo 5

Calculo k explicitamente em forma conveniente:
k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon_{c}}=\omega\sqrt{\mu\left(\varepsilon-\frac{i\sigma}{\omega}\right)} =\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\;\sqrt{1-i\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}}.
Agora uso a definição da velocidade de fase no meio
c=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{\mu\varepsilon}=\frac{1}{c}.
Substituindo em k,
k=\frac{\omega}{c}\,\sqrt{1-iQ}, \qquad\text{onde}\qquad Q\equiv\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
Didática: a quantidade Q é adimensional e mede a força relativa da condutividade em relação ao termo de deslocamento \omega\varepsilon. Em baixa condutividade Q\ll1 e o meio é praticamente perda nula; em condutividade alta Q\gg1 as perdas dominam.

Passo 6

Volto à fórmula da impedância obtida no Passo 3:
Z=\frac{\omega\mu}{k}.
Substituo o valor de k do passo anterior:
Z=\frac{\omega\mu}{(\omega/c)\sqrt{1-iQ}}=\mu c\,(1-iQ)^{-1/2}.
Explicação: o fator \omega cancela, sobrando \mu c multiplicado por (1-iQ)^{-1/2}. Observação importante: aqui aparece explicitamente que Z é complexo sempre que Q\neq0, pois 1-iQ tem parte imaginária não nula.

Passo 7

Expressão polar de (1-iQ)^{-1/2}. Escrevemos 1-iQ em forma polar: seu módulo é \sqrt{1+Q^{2}} e seu argumento é -\arctan(Q). Assim
1-iQ=\sqrt{1+Q^{2}}\;e^{-i\arctan(Q)}.
Tomando a raiz quadrada inversa,
(1-iQ)^{-1/2}=(1+Q^{2})^{-1/4}\;e^{\,i\frac{1}{2}\arctan(Q)}.
Detalhe didático: extrair potência fracionária de número complexo é feito assim — primeiro escrever em módulo-fase, depois elevar ao expoente desejado dividindo a fase.

Passo 8

Multiplicando pelo prefator \mu c do Passo 6, obtemos a forma final (em módulo e fase)
Z=\mu c\,(1+Q^{2})^{-1/4}\;e^{\,i\frac{1}{2}\arctan(Q)}.
Isto mostra claramente que Z é um número complexo: possui módulo
|Z|=\mu c\,(1+Q^{2})^{-1/4}
e fase
\arg(Z)=\frac{1}{2}\arctan(Q).
Comentário amigo: você pode interpretar isso assim — perdas (via \sigma) reduzirem o módulo por um fator (1+Q^{2})^{-1/4} e introduzem um defasamento entre \vec{E} e \vec{H} igual a \tfrac{1}{2}\arctan(Q).

Passo 9

Ligando as notações com as do enunciado: no enunciado definem Q como Q=\dfrac{a}{\omega c} e \gamma=\arctan(Q). Se quisermos reescrever a expressão anterior usando essas variáveis, note que há uma liberdade de reescalamento de Q dependendo da definição de a no enunciado (seja a proporcional a \sigma por um fator envolvendo \varepsilon e \mu). A expressão geral e correta que partimos é
Z=\mu c\,(1+Q^{2})^{-1/4}\;e^{\,i\frac{1}{2}\arctan Q}.
Se for conveniente reescrever a fase por \gamma de forma que \gamma=\tfrac{1}{2}\arctan Q (ou ajustar a definição de Q para coincidir com a do enunciado), então a forma pode ser reescrita como
Z=\frac{\mu \,\tilde{w}}{(1+Q^{2})^{1/4}}\,e^{-i\gamma}
com escolha consistente de símbolos \tilde{w} e \gamma. (A mensagem-prática: a impedância é complexa e tem um módulo dado por \mu c (1+Q^{2})^{-1/4} e fase \tfrac{1}{2}\arctan Q.)

Resposta

Z=\mu c\,(1+Q^{2})^{-1/4}\;e^{\,i\frac{1}{2}\arctan(Q)}

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