9-Demonstre que para uma onda plana no meio linear, isotrópico e homogèneo de permissividade \varepsilon, permeabilidade \mu e condutividade \sigma, a impedância Z é um número complexo e é dada por
e foi dada a definição (no enunciado) da impedância via a relação entre \vec{E} e \vec{H}, escrita aí como \vec{H}=\dfrac{1}{2}(\hat{r}\times\vec{E}) (mais abaixo eu uso a forma usual \vec{H}=\dfrac{1}{Z}(\hat{r}\times\vec{E}) para extrair Z; se a constante 1/2 do enunciado for apenas um fator de notação, a forma final de Z aparece como relação espectral entre E e H).\n
Todas as quantidades que usarei explicitamente: \omega é a frequência angular; c será a velocidade de fase no meio definida por c=1/\sqrt{\mu\varepsilon}; assumimos solução senoidal no tempo (representação fasorial) para campos eletromagnéticos.]
Passo 2
Escrevendo as equações de Maxwell no domínio da frequência (convenção fasorial e^{i\omega t}; isso transforma \partial/\partial t em i\omega) para um meio com condutividade \sigma:
Explicação didática rápida: a primeira equação vem de Faraday e a segunda vem da Lei de Ampère incluindo a corrente ôhmica \vec{J}=\sigma\vec{E} e o deslocamento \partial\vec{D}/\partial t=i\omega\varepsilon\vec{E}. Em regime senoidal usamos a notação complexa (fasores) e trabalhamos com amplitudes complexas — daí a impedância complexa aparece naturalmente.
Passo 3
Procuro soluções de onda plana na direção \hat{r}: tomar campos proporcionais a e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} com \vec{k}=k\hat{r}. Para uma onda plana transversal (E e H perpendiculares a \hat{r}) vale a identidade (resultado padrão para ondas planas)
\vec{k}\times\vec{E}= -\omega\mu\vec{H}.
Explicação: a igualdade resulta de substituir a forma de onda na equação \nabla\times\vec{E}=-i\omega\mu\vec{H} e usar \nabla\times(\text{fase}) = i\vec{k}\times(\text{amplitude}). Rearranjando,
Como \vec{k}=k\hat{r}, isso dá a relação vetorial de orientação entre \vec{H} e \vec{E}. A impedância escalar (intrínseca) é obtida pela razão das amplitudes; para a componente transversal obtém-se a relação escalar
Z\equiv\frac{E}{H}=\frac{\omega\mu}{k}.
Comentário didático: essa é uma fórmula muito útil — ela diz que a impedância da onda é simplesmente \omega\mu dividido pela constante de propagação k. Note que k pode ser complexo em meios condutores, portanto Z também será complexo.
Passo 4
Agora obtenho a constante de propagação k. Das equações de Maxwell para a onda plana segue a equação de onda complexa
é a permissividade complexa efetiva do meio (isso agrupa o efeito da condutividade). Explicação: combinar as equações das etapas anteriores leva a \nabla\times(\nabla\times\vec{E})=k^{2}\vec{E}=-\omega^{2}\mu\varepsilon_{c}\vec{E}, daí a expressão para k^{2}.
Didática: a quantidade Q é adimensional e mede a força relativa da condutividade em relação ao termo de deslocamento \omega\varepsilon. Em baixa condutividade Q\ll1 e o meio é praticamente perda nula; em condutividade alta Q\gg1 as perdas dominam.
Explicação: o fator \omega cancela, sobrando \mu c multiplicado por (1-iQ)^{-1/2}. Observação importante: aqui aparece explicitamente que Z é complexo sempre que Q\neq0, pois 1-iQ tem parte imaginária não nula.
Passo 7
Expressão polar de (1-iQ)^{-1/2}. Escrevemos 1-iQ em forma polar: seu módulo é \sqrt{1+Q^{2}} e seu argumento é -\arctan(Q). Assim
Detalhe didático: extrair potência fracionária de número complexo é feito assim — primeiro escrever em módulo-fase, depois elevar ao expoente desejado dividindo a fase.
Passo 8
Multiplicando pelo prefator \mu c do Passo 6, obtemos a forma final (em módulo e fase)
Isto mostra claramente que Z é um número complexo: possui módulo
|Z|=\mu c\,(1+Q^{2})^{-1/4}
e fase
\arg(Z)=\frac{1}{2}\arctan(Q).
Comentário amigo: você pode interpretar isso assim — perdas (via \sigma) reduzirem o módulo por um fator (1+Q^{2})^{-1/4} e introduzem um defasamento entre \vec{E} e \vec{H} igual a \tfrac{1}{2}\arctan(Q).
Passo 9
Ligando as notações com as do enunciado: no enunciado definem Q como Q=\dfrac{a}{\omega c} e \gamma=\arctan(Q). Se quisermos reescrever a expressão anterior usando essas variáveis, note que há uma liberdade de reescalamento de Q dependendo da definição de a no enunciado (seja a proporcional a \sigma por um fator envolvendo \varepsilon e \mu). A expressão geral e correta que partimos é
Se for conveniente reescrever a fase por \gamma de forma que \gamma=\tfrac{1}{2}\arctan Q (ou ajustar a definição de Q para coincidir com a do enunciado), então a forma pode ser reescrita como
com escolha consistente de símbolos \tilde{w} e \gamma. (A mensagem-prática: a impedância é complexa e tem um módulo dado por \mu c (1+Q^{2})^{-1/4} e fase \tfrac{1}{2}\arctan Q.)