A 100^{\circ} \mathrm{C}, a constante de equilíbrio \mathrm{K}_{\mathrm{c}} para a reação
\mathrm{CO}(\mathrm{~g})+\mathrm{Cl}_{2}(\mathrm{~g}) \rightleftharpoons \mathrm{COCl}_{2}(\mathrm{~g})
é 4,6 \cdot 10^{9}. Suponha que 0,15 \mathrm{~mol} de CO e 0,30 \mathrm{~mol} de \mathrm{Cl}_{2} fossem colocados em um frasco de 1,0 \mathrm{~L} e deixados reagir. Quais serão as concentrações de cada um dos gases no sistema em equilíbrio?
[\mathrm{CO}]=2,17 \cdot 10^{-10} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ;\left[\mathrm{Cl}_{2}\right]=0,150 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ;\left[\mathrm{COCl}_{2}\right]=0,150 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a constante de equilíbrio e as quantidades iniciais no frasco de 1{,}0\\ \mathrm{L} e pede as concentrações em equilíbrio. Informações relevantes:
  • Constante de equilíbrio a 100^\circ\mathrm{C}: K_{c}=4{,}6\cdot10^{9}.
  • Mols iniciais colocados: 0{,}15\\ \mathrm{mol} de CO e 0{,}30\\ \mathrm{mol} de \mathrm{Cl}_2. Como o volume é 1{,}0\\ \mathrm{L}, as concentrações iniciais são: [\mathrm{CO}]_0=0{,}15\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},\qquad [\mathrm{Cl}_2]_0=0{,}30\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},\qquad [\mathrm{COCl}_2]_0=0.
  • A reação é \mathrm{CO}(g)+\mathrm{Cl}_2(g)\rightleftharpoons\mathrm{COCl}_2(g).
Pergunta explícita: quais são as concentrações em equilíbrio de \mathrm{CO}, \mathrm{Cl}_2 e \mathrm{COCl}_2?

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para descrever o avanço da reação e escrever as concentrações em equilíbrio (método tipo ICE, passo a passo).
  • Seja x a concentração (em \mathrm{mol\;L^{-1}}) de \mathrm{COCl}_2 formada em equilíbrio. Pela estequiometria, para cada x formado consome-se x de \mathrm{CO} e x de \mathrm{Cl}_2.
  • Portanto as concentrações em equilíbrio são: [\mathrm{CO}]_{\text{eq}}=0{,}15-x,
[\mathrm{Cl}_2]_{\text{eq}}=0{,}30-x,
[\mathrm{COCl}_2]_{\text{eq}}=x.

Passo 3

Escrevemos a expressão de K_c para a reação e substituímos as expressões de equilíbrio:
K_c=\frac{[\mathrm{COCl}_2]}{[\mathrm{CO}][\mathrm{Cl}_2]}.
Substituindo:
4{,}6\cdot10^{9}=\frac{x}{(0{,}15-x)(0{,}30-x)}.
Para resolver exatamente isso poderíamos montar uma equação quadrática. Vou manipular para mostrar a forma e depois usar uma aproximação justificável (porque K_c é muito grande):
Multiplicando em cruz:
x=K\bigl(0{,}045-0{,}45x+x^2\bigr),
onde escrevemos K para 4{,}6\cdot10^{9}. Rearranjando para forma padrão:
Kx^2-(0{,}45K+1)x+0{,}045K=0.
Essa é a equação exata em x, mas os coeficientes envolvem K muito grande, o que nos permite usar uma aproximação elegante e segura.

Passo 4

Interpretação física e aproximação: K_c é enorme \bigl(4{,}6\cdot10^{9}\bigr), ou seja, o numerador [\mathrm{COCl}_2] tende a ser muito maior do que o produto [\mathrm{CO}][\mathrm{Cl}_2]; a reação vai praticamente até a formação de quase todo o CO inicial. Isso significa que a concentração de \mathrm{CO} em equilíbrio será muito pequena. Vamos explorar isso com uma aproximação controlada.
  • Defina a pequena quantidade residual de CO em equilíbrio como \varepsilon=[\mathrm{CO}]_{\text{eq}}=0{,}15-x. Então x=0{,}15-\varepsilon e [\mathrm{Cl}_2]_{\text{eq}}=0{,}30-x=0{,}15+\varepsilon.
  • Substituindo na expressão de K_c: K=\frac{0{,}15-\varepsilon}{\varepsilon(0{,}15+\varepsilon)}.
  • Como esperamos \varepsilon muito pequeno comparado a 0{,}15, podemos aproximar 0{,}15+\varepsilon\approx0{,}15 e 0{,}15-\varepsilon\approx0{,}15. Então: K\approx\frac{0{,}15}{\varepsilon\cdot0{,}15}=\frac{1}{\varepsilon}.
  • Portanto a boa aproximação é \varepsilon\approx\frac{1}{K}.

Passo 5

Cálculo numérico da pequena concentração residual e das concentrações de equilíbrio:
  • Calcule \varepsilon: \varepsilon\approx\frac{1}{4{,}6\cdot10^{9}}=2{,}173913043\cdot10^{-10}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.Arredondando razoavelmente: \varepsilon\approx2{,}17\cdot10^{-10}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Agora as concentrações em equilíbrio são: [\mathrm{CO}]_{\text{eq}}=\varepsilon\approx2{,}17\cdot10^{-10}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},
[\mathrm{COCl}_2]_{\text{eq}}=x=0{,}15-\varepsilon\approx0{,}150\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},
[\mathrm{Cl}_2]_{\text{eq}}=0{,}15+\varepsilon\approx0{,}150\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
As duas últimas estão iguais a 0{,}150\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} dentro das casas decimais apresentáveis porque \varepsilon é extremamente pequeno em relação a 0{,}15.

Passo 6

Verificação rápida (sanidade): se usarmos [\mathrm{CO}]_{\text{eq}}=\varepsilon e [\mathrm{Cl}_2]_{\text{eq}}\approx0{,}15 e [\mathrm{COCl}_2]_{\text{eq}}\approx0{,}15, então
\frac{[\mathrm{COCl}_2]}{[\mathrm{CO}][\mathrm{Cl}_2]}\approx\frac{0{,}15}{(2{,}17\cdot10^{-10})(0{,}15)}\approx\frac{1}{2{,}17\cdot10^{-10}}\approx4{,}6\cdot10^{9},
ou seja, retorna a K_c original — ótima consistência.

Resposta

[\mathrm{CO}]=2{,}17\cdot10^{-10}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
[\mathrm{Cl}_2]=0{,}150\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
[\mathrm{COCl}_2]=0{,}150\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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