De 100 crianças que frequentam uma creche, 15 são bebés com menos de 1 ano de idade. Vão ser selecionadas ao acaso, e independentemente, 10 crianças para uma atividade especial. Interessa conhecer o número de bebés com menos de 1 ano entre as 10 crianças selecionadas. (3 pts)
(a) Identifique a variável aleatória correspondente.
(b) Cual é a probabilidade de nesse grupo não irem bebés com menos de um ano?
(c) Encontre o valor esperado e o terceiro quartil do número de bebés no grupo.
(a) Identifique a variável aleatória correspondente.
(b) Cual é a probabilidade de nesse grupo não irem bebés com menos de um ano?
(c) Encontre o valor esperado e o terceiro quartil do número de bebés no grupo.
Passo 1
Vou reescrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no meio do pânico (estamos juntos nessa!).
- Informações dadas:
- Número total de crianças na creche:
. - Número de bebés com menos de 1 ano entre essas crianças:
. - Número de crianças selecionadas ao acaso:
. (O enunciado diz “independentemente”, mas por agora só registro os números.)
- Número total de crianças na creche:
- Perguntas:
- (a) Identificar a variável aleatória correspondente.
- (b) Calcular a probabilidade de que, entre as
selecionadas, não haja nenhum bebé com menos de 1 ano. - (c) Encontrar o valor esperado e o terceiro quartil do número de bebés no grupo.
Não vou resolver nesta etapa, só deixei tudo explicitado e os dados organizados para começarmos a trabalhar no próximo passo.
Passo 2
Escolha do modelo probabilístico (explicação e motivo da escolha).
Temos uma população finita (
crianças),
delas são “sucessos” (bebés) e vamos extrair uma amostra de tamanho
. Existem dois modelos possíveis que costumam aparecer nestes problemas:
- Modelo binomial: assume extrações com reposição ou extrações independentes identicamente distribuídas com probabilidade fixa
. Nesse caso poderíamos usar como aproximação. - Modelo hipergeométrico: assume extrações sem reposição de uma população finita — é o modelo exato quando escolhemos um subconjunto de tamanho fixo sem devolver os elementos.
O enunciado diz “ao acaso, e independentemente”, o que pode causar ambiguidade (pois sem reposição as escolhas não são estritamente independentes). Seguindo a prática clássica para problema de seleccionar um conjunto de
crianças de uma creche de
sem indicação explícita de reposição, o modelo mais apropriado e exato é o modelo hipergeométrico. Vou usar o modelo hipergeométrico e, quando útil, menciono a aproximação binomial como comparação.
Defino a variável que vamos usar:
Passo 3
Definição da distribuição hipergeométrica e interpretação combinatória (aulasinha rápida).
- Parâmetros: população total
, número de sucessos na população (bebés), tamanho da amostra . - A variável
toma valores inteiros (mas também limitada por , aqui até porque escolhemos só crianças). - A fórmula da probabilidade (pmf) é:
Explicando cada termo:
-
é o número de maneiras de escolher os bebés dentre os disponíveis. -
é o número de maneiras de escolher os não-bebés dentre os restantes. -
é o número total de maneiras de escolher crianças entre .
Isto conta todos os subconjuntos possíveis e calcula a probabilidade por contagem.
No nosso caso, substituindo os parâmetros:
Passo 4
Cálculo da probabilidade pedida em (b): sem bebés (
). Montagem da expressão exata e transformação para produto (para evitar números gigantes).
A expressão exata é
Há uma identidade útil para calcular essa razão sem escrever os enormes binomiais: para
,
Aplicando com
,
,
, obtemos
Vou multiplicar esses fatores passo a passo para obter um número aproximado (uso vírgula para decimais como pediste):
Fatores e produto parcial (cada fator mostrado e produto acumulado aproximado):
Portanto, numericamente,
Também fica claro a forma exata
se preferires resultado exato em termos de binomiais.
Passo 5
Cálculo das probabilidades de
e
de forma inteligente (razões entre probabilidades) para determinar o terceiro quartil.
Em vez de calcular diretamente binomiais enormes, usamos a relação entre probabilidades consecutivas:
Mas uma forma ainda mais simples para aqui é usar identidades de combinação passo a passo.
Cálculo de
usando
.
Primeiro, a razão:
Primeiro, a razão:
Portanto
Agora
a partir de
. A razão:
Assim
Passo 6
Cálculo da função de distribuição acumulada e identificação do terceiro quartil.
Somamos as probabilidades até encontrar o menor
tal que
.
Calculando as somas:
Logo
e
. Pelo critério discreto do terceiro quartil (o menor
tal que
), obtemos:
Passo 7
Cálculo do valor esperado (explicação intuitiva e fórmula).
Para a distribuição hipergeométrica existe uma fórmula simples para a média:
Intuição curta: podemos ver
como soma de
indicadores
(cada indicador vale
se a
-ésima posição da amostra for um bebé). Cada indicador tem esperança
(probabilidade de que uma posição dada seja um bebé, por simetria), e pela linearidade da esperança:
Substituindo nossos valores:
Passo 8
Resumo final dos resultados (vou repetir de forma clara e curta antes de colocar só as respostas no campo final).
- (a) Variável:
= número de bebés < 1 ano entre as 10 selecionadas. Modelamos como hipergeométrica com parâmetros , , . - (b)
- (c)
. Terceiro quartil .
Resposta
(a)
número de bebés entre as
selecionadas,
.
(b) .
(c) terceiro quartil
.
(b)
(c)