De 100 crianças que frequentam uma creche, 15 são bebés com menos de 1 ano de idade. Vão ser selecionadas ao acaso, e independentemente, 10 crianças para uma atividade especial. Interessa conhecer o número de bebés com menos de 1 ano entre as 10 crianças selecionadas. (3 pts)
(a) Identifique a variável aleatória correspondente.
(b) Cual é a probabilidade de nesse grupo não irem bebés com menos de um ano?
(c) Encontre o valor esperado e o terceiro quartil do número de bebés no grupo.

Passo 1

Vou reescrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no meio do pânico (estamos juntos nessa!).
  • Informações dadas:
    • Número total de crianças na creche: \,100.
    • Número de bebés com menos de 1 ano entre essas crianças: \,15.
    • Número de crianças selecionadas ao acaso: \,10. (O enunciado diz “independentemente”, mas por agora só registro os números.)
  • Perguntas:
    • (a) Identificar a variável aleatória correspondente.
    • (b) Calcular a probabilidade de que, entre as 10 selecionadas, não haja nenhum bebé com menos de 1 ano.
    • (c) Encontrar o valor esperado e o terceiro quartil do número de bebés no grupo.
Não vou resolver nesta etapa, só deixei tudo explicitado e os dados organizados para começarmos a trabalhar no próximo passo.

Passo 2

Escolha do modelo probabilístico (explicação e motivo da escolha).
Temos uma população finita ( 100 crianças), 15 delas são “sucessos” (bebés) e vamos extrair uma amostra de tamanho 10. Existem dois modelos possíveis que costumam aparecer nestes problemas:
  • Modelo binomial: assume extrações com reposição ou extrações independentes identicamente distribuídas com probabilidade fixa p. Nesse caso poderíamos usar B(10,p=15/100) como aproximação.
  • Modelo hipergeométrico: assume extrações sem reposição de uma população finita — é o modelo exato quando escolhemos um subconjunto de tamanho fixo sem devolver os elementos.
O enunciado diz “ao acaso, e independentemente”, o que pode causar ambiguidade (pois sem reposição as escolhas não são estritamente independentes). Seguindo a prática clássica para problema de seleccionar um conjunto de 10 crianças de uma creche de 100 sem indicação explícita de reposição, o modelo mais apropriado e exato é o modelo hipergeométrico. Vou usar o modelo hipergeométrico e, quando útil, menciono a aproximação binomial como comparação.
Defino a variável que vamos usar:
X = \text{o número de bebés com menos de 1 ano entre as 10 crianças selecionadas.}úéç

Passo 3

Definição da distribuição hipergeométrica e interpretação combinatória (aulasinha rápida).
  • Parâmetros: população total N=100, número de sucessos na população K=15 (bebés), tamanho da amostra n=10.
  • A variável X toma valores inteiros \,k=0,1,\dots,10 (mas também limitada por K, aqui até 10 porque escolhemos só 10 crianças).
  • A fórmula da probabilidade (pmf) é:
\mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Explicando cada termo:
  • \binom{K}{k} é o número de maneiras de escolher os k bebés dentre os K disponíveis.
  • \binom{N-K}{n-k} é o número de maneiras de escolher os n-k não-bebés dentre os N-K restantes.
  • \binom{N}{n} é o número total de maneiras de escolher n crianças entre N.
    Isto conta todos os subconjuntos possíveis e calcula a probabilidade por contagem.
No nosso caso, substituindo os parâmetros:
\mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{15}{k}\,\binom{85}{10-k}}{\binom{100}{10}}.

Passo 4

Cálculo da probabilidade pedida em (b): sem bebés ( k=0). Montagem da expressão exata e transformação para produto (para evitar números gigantes).
A expressão exata é
\mathbb{P}(X=0)=\frac{\binom{15}{0}\,\binom{85}{10}}{\binom{100}{10}}=\frac{\binom{85}{10}}{\binom{100}{10}}.
Há uma identidade útil para calcular essa razão sem escrever os enormes binomiais: para 0\le b\le n,
\frac{\binom{a}{n}}{\binom{c}{n}}=\prod_{i=0}^{n-1}\frac{a-i}{c-i}.
Aplicando com a=85, c=100, n=10, obtemos
\mathbb{P}(X=0)=\prod_{i=0}^{9}\frac{85-i}{100-i}=\frac{85}{100}\cdot\frac{84}{99}\cdot\frac{83}{98}\cdot\cdots\cdot\frac{76}{91}.
Vou multiplicar esses fatores passo a passo para obter um número aproximado (uso vírgula para decimais como pediste):
Fatores e produto parcial (cada fator mostrado e produto acumulado aproximado):
\begin{aligned} &\frac{85}{100}=0,85 &&\Rightarrow\;0,85\\\ &\frac{84}{99}\approx0,84848485 &&\Rightarrow\;0,72121212\\\ &\frac{83}{98}\approx0,84693878 &&\Rightarrow\;0,610824\\\ &\frac{82}{97}\approx0,84536082 &&\Rightarrow\;0,516367\\\ &\frac{81}{96}=0,84375 &&\Rightarrow\;0,435709\\\ &\frac{80}{95}\approx0,84210526 &&\Rightarrow\;0,365917\\\ &\frac{79}{94}\approx0,84042553 &&\Rightarrow\;0,307523\\\ &\frac{78}{93}\approx0,83870968 &&\Rightarrow\;0,257926\\\ &\frac{77}{92}\approx0,83695652 &&\Rightarrow\;0,215872\\\ &\frac{76}{91}\approx0,83516484 &&\Rightarrow\;0,180310 \end{aligned}
Portanto, numericamente,
\mathbb{P}(X=0)\approx0,1803.
Também fica claro a forma exata \dfrac{\binom{85}{10}}{\binom{100}{10}} se preferires resultado exato em termos de binomiais.

Passo 5

Cálculo das probabilidades de X=1 e X=2 de forma inteligente (razões entre probabilidades) para determinar o terceiro quartil.
Em vez de calcular diretamente binomiais enormes, usamos a relação entre probabilidades consecutivas:
\frac{\mathbb{P}(X=k+1)}{\mathbb{P}(X=k)} =\frac{\binom{15}{k+1}\binom{85}{9-k}}{\binom{15}{k}\binom{85}{10-k}} =\frac{15-k}{k+1}\cdot\frac{10-k}{85-(9-k)}.
Mas uma forma ainda mais simples para aqui é usar identidades de combinação passo a passo.
Cálculo de \mathbb{P}(X=1) usando \mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(X=0)\cdot\frac{\mathbb{P}(X=1)}{\mathbb{P}(X=0)}.
Primeiro, a razão:
\frac{\mathbb{P}(X=1)}{\mathbb{P}(X=0)} = \frac{\binom{15}{1}\binom{85}{9}}{\binom{15}{0}\binom{85}{10}} =15\cdot\frac{\binom{85}{9}}{\binom{85}{10}} =15\cdot\frac{10}{76}=\frac{150}{76}=\frac{75}{38}\approx1,97368421.
Portanto
\mathbb{P}(X=1)\approx0,180310\times1,97368421\approx0,3557.
Agora \mathbb{P}(X=2) a partir de \mathbb{P}(X=1). A razão:
\frac{\mathbb{P}(X=2)}{\mathbb{P}(X=1)} =\frac{\binom{15}{2}\binom{85}{8}}{\binom{15}{1}\binom{85}{9}} =\frac{\binom{15}{2}}{\binom{15}{1}}\cdot\frac{\binom{85}{8}}{\binom{85}{9}} =\frac{14}{2}\cdot\frac{9}{77}=\frac{63}{77}\approx0,81818182.
Assim
\mathbb{P}(X=2)\approx0,3557\times0,81818182\approx0,2909.

Passo 6

Cálculo da função de distribuição acumulada e identificação do terceiro quartil.
Somamos as probabilidades até encontrar o menor q tal que \mathbb{P}(X\le q)\ge0{,}75.
Calculando as somas:
\begin{aligned} \mathbb{P}(X\le1)&=\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\approx0,1803+0,3557=0,5360,\\\ \mathbb{P}(X\le2)&=\mathbb{P}(X\le1)+\mathbb{P}(X=2)\approx0,5360+0,2909=0,8269. \end{aligned}
Logo \mathbb{P}(X\le1)<0{,}75 e \mathbb{P}(X\le2)\ge0{,}75. Pelo critério discreto do terceiro quartil (o menor q tal que \mathbb{P}(X\le q)\ge0{,}75), obtemos:
\text{o terceiro quartil é }q_3=2.é

Passo 7

Cálculo do valor esperado (explicação intuitiva e fórmula).
Para a distribuição hipergeométrica existe uma fórmula simples para a média:
\mathbb{E}(X)=n\cdot\frac{K}{N}.
Intuição curta: podemos ver X como soma de n indicadores I_j (cada indicador vale 1 se a j-ésima posição da amostra for um bebé). Cada indicador tem esperança \mathbb{E}(I_j)=K/N (probabilidade de que uma posição dada seja um bebé, por simetria), e pela linearidade da esperança:
\mathbb{E}(X)=\sum_{j=1}^n\mathbb{E}(I_j)=n\cdot\frac{K}{N}.
Substituindo nossos valores:
\mathbb{E}(X)=10\cdot\frac{15}{100}=10\cdot0{,}15=1{,}5.

Passo 8

Resumo final dos resultados (vou repetir de forma clara e curta antes de colocar só as respostas no campo final).
  • (a) Variável: X = número de bebés < 1 ano entre as 10 selecionadas. Modelamos X como hipergeométrica com parâmetros N=100, K=15, n=10.
  • (b) \mathbb{P}(X=0)=\dfrac{\binom{85}{10}}{\binom{100}{10}}\approx0{,}1803.
  • (c) \mathbb{E}(X)=1{,}5. Terceiro quartil q_3=2.

Resposta

(a) X= número de bebés entre as 10 selecionadas, X\sim\mathrm{Hipergeom}(N=100,K=15,n=10).
(b) \dfrac{\binom{85}{10}}{\binom{100}{10}}\approx0,1803.
(c) \mathbb{E}(X)=1{,}5;\quad terceiro quartil q_3=2.

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