Certo exame para detecção de determinada doença tem probabilidade 80 \% de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade 70 \% de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de 20 \%, sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
a) qual é a probabilidade do resultado ser positivo? (R: \mathbf{0 , 4} )
b) Sabendo-se que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença (falso-positivo)? (R: 0,6)
c) Sorteando-se 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo nesse exame, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença? (R: 0,99996)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para ninguém se perder):
  • Probabilidade de uma pessoa ter a doença: \;P(D)=0,2.
  • Sensitividade do exame: probabilidade de teste positivo quando a pessoa tem a doença: \;P(+\mid D)=0,8.
  • Especificidade do exame: probabilidade de teste negativo quando a pessoa não tem a doença: \;P(-\mid D^{c})=0,7.
Perguntas pedidas:
a) Qual é a probabilidade do resultado ser positivo, isto é, P(+)?
b) Sabendo que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença, isto é, P(D^{c}\mid +) (falso-positivo)?
c) Entre 20 pacientes sorteados dentre os que tiveram resultado positivo, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença?

Passo 2

Primeiro, vou transformar a especificidade em taxa de falso-positivo, porque isso facilita os cálculos: especificidade é P(-\mid D^{c})=0,7. Logo a probabilidade de um não-doente testar positivo é
P(+\mid D^{c}) = 1 - P(-\mid D^{c}) = 1 - 0,7 = 0,3.
Explicando didaticamente:
  • P(D) é a probabilidade prévia (incidência) de ter a doença.
  • P(+\mid D) é a sensibilidade: chance de dar positivo quando a pessoa realmente tem a doença.
  • P(+\mid D^{c}) é a probabilidade de falso-positivo: chance de dar positivo quando a pessoa não tem a doença.
Com isso temos todos os ingredientes para usar a Regra da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes.

Passo 3

Resolvendo a letra (a): queremos P(+). Pela Regra da Probabilidade Total,
P(+) = P(+\mid D)P(D) + P(+\mid D^{c})P(D^{c}).
Substituindo os valores conhecidos:
P(+) = 0,8\cdot 0,2 + 0,3\cdot 0,8.
Faço as contas passo a passo:
0,8\cdot 0,2 = 0,16,
0,3\cdot 0,8 = 0,24,
P(+) = 0,16 + 0,24 = 0,40.
Portanto P(+)=0,4.

Passo 4

Resolvendo a letra (b): queremos P(D^{c}\mid +), a probabilidade de ser não-doente dado que o teste saiu positivo (falso-positivo). Usamos o Teorema de Bayes:
P(D^{c}\mid +) = \frac{P(+\mid D^{c})\,P(D^{c})}{P(+)}.
Já calculamos P(+\mid D^{c})=0,3, P(D^{c})=1-0,2=0,8 e P(+)=0,4. Substituindo:
P(D^{c}\mid +) = \frac{0,3\cdot 0,8}{0,4} = \frac{0,24}{0,4}.
Dividindo:
P(D^{c}\mid +)=0,6.
Interpretação: entre os indivíduos com teste positivo, 60\% são falsos positivos — é muita coisa, por isso é sempre importante olhar a prevalência!

Passo 5

Resolvendo a letra (c): estamos agora sorteando 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo. Pelo item (b), para cada um desses pacientes a probabilidade de não ter a doença (ser falso-positivo) é p=0,6, e as escolhas são assumidas independentes (modelo usual). Então o número X de não-portadores (falsos positivos) entre os 20 segue uma distribuição binomial:
X \sim \mathrm{Binomial}(n=20,\;p=0,6).
Queremos a probabilidade de “pelo menos 3” não serem portadores, isto é P(X\ge 3). É mais simples calcular o complementar:
P(X\ge 3) = 1 - P(X\le 2) = 1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{20}{k} (0,6)^{k}(0,4)^{20-k}.

Passo 6

Agora calculo os termos k=0,1,2 com cuidado (mostrando cada passo):
  • Para k=0:
P(X=0)=\binom{20}{0}(0,6)^{0}(0,4)^{20} = (0,4)^{20}.
Aproximação: (0,4)^{20}\approx 1{,}1002\times 10^{-8}.
  • Para k=1:
P(X=1)=\binom{20}{1}(0,6)^{1}(0,4)^{19}=20\cdot 0,6\cdot (0,4)^{19}.
Como (0,4)^{19}=(0,4)^{20}/0,4, obtemos numericamente
P(X=1)\approx 20\cdot 0,6\cdot 2{,}7505\times 10^{-8} \approx 3{,}3006\times 10^{-7}.
  • Para k=2:
P(X=2)=\binom{20}{2}(0,6)^{2}(0,4)^{18}=190\cdot 0,36\cdot (0,4)^{18}.
Como (0,4)^{18}=(0,4)^{20}/(0,4)^{2}, numericamente
P(X=2)\approx 190\cdot 0,36\cdot 6{,}8764\times 10^{-8} \approx 4{,}7001\times 10^{-6}.
Somando os três termos:
P(X\le 2) \approx 1{,}1002\times 10^{-8} + 3{,}3006\times 10^{-7} + 4{,}7001\times 10^{-6} \approx 5{,}0412\times 10^{-6}.
Finalmente,
P(X\ge 3)=1 - P(X\le 2) \approx 1 - 5{,}0412\times 10^{-6} \approx 0{,}9999949588.
Arredondando de forma compreensível, isso dá aproximadamente 0,999995. (O valor é extremamente próximo de 1, ou seja: é praticamente certo que, entre 20 positivos, pelo menos 3 sejam falsos positivos quando 60\% dos positivos são falsos.)

Resposta

a) 0,4
b) 0,6
c) 0,999995

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