Certo exame para detecção de determinada doença tem probabilidade
de produzir resultado positivo, quando o paciente tem a doença (sensitividade do exame) e probabilidade
de produzir resultado negativo em indivíduos sem a doença (especificidade do exame). Sabendo-se que na população a incidência dessa moléstia (probabilidade de uma pessoa ter a doença) é de
, sorteando-se ao acaso um indivíduo que realizou este exame:
a) qual é a probabilidade do resultado ser positivo? (R:
)
b) Sabendo-se que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença (falso-positivo)? (R: 0,6)
c) Sorteando-se 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo nesse exame, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença? (R: 0,99996)
a) qual é a probabilidade do resultado ser positivo? (R:
b) Sabendo-se que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença (falso-positivo)? (R: 0,6)
c) Sorteando-se 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo nesse exame, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença? (R: 0,99996)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para ninguém se perder):
- Probabilidade de uma pessoa ter a doença:
. - Sensitividade do exame: probabilidade de teste positivo quando a pessoa tem a doença:
. - Especificidade do exame: probabilidade de teste negativo quando a pessoa não tem a doença:
.
Perguntas pedidas:
a) Qual é a probabilidade do resultado ser positivo, isto é, ?
b) Sabendo que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença, isto é, (falso-positivo)?
c) Entre 20 pacientes sorteados dentre os que tiveram resultado positivo, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença?
a) Qual é a probabilidade do resultado ser positivo, isto é,
b) Sabendo que o resultado foi positivo, qual é a probabilidade do paciente não ter a doença, isto é,
c) Entre 20 pacientes sorteados dentre os que tiveram resultado positivo, qual é a probabilidade de pelo menos 3 não serem portadores da doença?
Passo 2
Primeiro, vou transformar a especificidade em taxa de falso-positivo, porque isso facilita os cálculos: especificidade é
. Logo a probabilidade de um não-doente testar positivo é
Explicando didaticamente:
-
é a probabilidade prévia (incidência) de ter a doença. -
é a sensibilidade: chance de dar positivo quando a pessoa realmente tem a doença. -
é a probabilidade de falso-positivo: chance de dar positivo quando a pessoa não tem a doença.
Com isso temos todos os ingredientes para usar a Regra da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes.
Passo 3
Resolvendo a letra (a): queremos
. Pela Regra da Probabilidade Total,
Substituindo os valores conhecidos:
Faço as contas passo a passo:
Portanto
.
Passo 4
Resolvendo a letra (b): queremos
, a probabilidade de ser não-doente dado que o teste saiu positivo (falso-positivo). Usamos o Teorema de Bayes:
Já calculamos
,
e
. Substituindo:
Dividindo:
Interpretação: entre os indivíduos com teste positivo,
são falsos positivos — é muita coisa, por isso é sempre importante olhar a prevalência!
Passo 5
Resolvendo a letra (c): estamos agora sorteando 20 pacientes dentre os que tiveram resultado positivo. Pelo item (b), para cada um desses pacientes a probabilidade de não ter a doença (ser falso-positivo) é
, e as escolhas são assumidas independentes (modelo usual). Então o número
de não-portadores (falsos positivos) entre os 20 segue uma distribuição binomial:
Queremos a probabilidade de “pelo menos 3” não serem portadores, isto é
. É mais simples calcular o complementar:
Passo 6
Agora calculo os termos
com cuidado (mostrando cada passo):
- Para
:
Aproximação:
.
- Para
:
Como
, obtemos numericamente
- Para
:
Como
, numericamente
Somando os três termos:
Finalmente,
Arredondando de forma compreensível, isso dá aproximadamente
. (O valor é extremamente próximo de 1, ou seja: é praticamente certo que, entre 20 positivos, pelo menos 3 sejam falsos positivos quando
dos positivos são falsos.)
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)