Considere o vetor aleatório (
) onde
representa o número de consultas por minuto em um site de internet, e
o número de vendas por minuto no site. A função de probabilidade conjunta é dada na tabela: (2 pts)
Y
0
1
2
3
X
0
0,4
0
0
0
1
0,15
0,10
0
0
2
0,08
0,05
0,02
0
3
0,04
0,02
0,02
0
4
0,02
0,02
0,01
0,01
5
0,01
0,01
0,02
0,02
(a) Encontre a funçāo de probabilidade do número de consultas necessárias quando houve 2 vendas.
(b) Qual é o número médio de vedas, quando o site é acessado 2 vezes,
(c) Encontre
(d) As variáveis sāo independentes? Justifique.
| Y | |||||
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | |
| X | 0 | 0,4 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0,15 | 0,10 | 0 | 0 | |
| 2 | 0,08 | 0,05 | 0,02 | 0 | |
| 3 | 0,04 | 0,02 | 0,02 | 0 | |
| 4 | 0,02 | 0,02 | 0,01 | 0,01 | |
| 5 | 0,01 | 0,01 | 0,02 | 0,02 | |
(b) Qual é o número médio de vedas, quando o site é acessado 2 vezes,
(c) Encontre
(d) As variáveis sāo independentes? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função de probabilidade conjunta
na tabela (peguei todos os valores diretamente da tabela do enunciado). As perguntas são:
(a) Encontre a função de probabilidade do número de consultas necessárias quando houve 2 vendas — isto é, a distribuição condicional de
dado
:
.
(b) Qual é o número médio de vendas quando o site é acessado 2 vezes — isto é, a esperança condicional
.
(c) Encontre
.
(d) As variáveis são independentes? Justifique.
Os valores relevantes da tabela (copiados do enunciado) que vou usar: para cada par
os
são
Passo 2
(a) Regra para distribuição condicional: para qualquer
,
Primeiro calculo
somando a coluna
(peguei os valores da coluna
na tabela):
Somando:
Passo 3
Agora calculo
para cada
. Usando os
da tabela e
:
- Para
: , então . - Para
: , então . - Para
: , então
- Para
: , então . - Para
: , então - Para
: , então .
Verificação rápida:
, ok.
Passo 4
(b) Regra para esperança condicional:
Primeiro
é a soma da linha
(peguei os três números da linha
na tabela):
Agora as probabilidades condicionais
:
-
. -
. -
. -
.
Calculo da esperança:
Detalhando:
Passo 5
(c) Para
uso a fórmula
Vou calcular
,
e
.
Marginal de
: somei cada linha (valores tomados da tabela):
Cálculo de
:
Detalhando os termos:
Marginal de
: somei cada coluna (valores da tabela):
Cálculo de
:
Agora
. Faço por linhas (usei os
da tabela):
- Linha
: contribui . - Linha
: . - Linha
: e total . - Linha
: e total . - Linha
: , , total . - Linha
: , , total .
Somando todas as contribuições:
Finalmente a covariância:
Calculo do produto
, então
Interpretação curta:
indica que, em média,
e
variam na mesma direção (mais acessos tendem a acompanhar mais vendas), mas para concluir independência precisamos checar a definição.
Passo 6
(d) Definição:
e
são independentes se, para todo par
,
Basta um contraexemplo para mostrar dependência. Por exemplo, peguei
da tabela:
. Compare com
, usando os marginais calculados:
Como
, as variáveis não são independentes. Observação adicional: a covariância positiva (não nula) também indica dependência.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Não (as variáveis são dependentes).
(b)
(c)
(d) Não (as variáveis são dependentes).