Considere o vetor aleatório ( X, Y ) onde X representa o número de consultas por minuto em um site de internet, e Y o número de vendas por minuto no site. A função de probabilidade conjunta é dada na tabela: (2 pts)
Y
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) 0 1 2 3
X 0 0,4 0 0 0
1 0,15 0,10 0 0
2 0,08 0,05 0,02 0
3 0,04 0,02 0,02 0
4 0,02 0,02 0,01 0,01
5 0,01 0,01 0,02 0,02
(a) Encontre a funçāo de probabilidade do número de consultas necessárias quando houve 2 vendas.
(b) Qual é o número médio de vedas, quando o site é acessado 2 vezes,
(c) Encontre \operatorname{COV}(X, Y)
(d) As variáveis sāo independentes? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função de probabilidade conjunta f(x,y)=P(X=x,Y=y) na tabela (peguei todos os valores diretamente da tabela do enunciado). As perguntas são:
(a) Encontre a função de probabilidade do número de consultas necessárias quando houve 2 vendas — isto é, a distribuição condicional de X dado Y=2: P(X=x\mid Y=2).
(b) Qual é o número médio de vendas quando o site é acessado 2 vezes — isto é, a esperança condicional E[Y\mid X=2].
(c) Encontre \operatorname{COV}(X,Y).
(d) As variáveis são independentes? Justifique.
Os valores relevantes da tabela (copiados do enunciado) que vou usar: para cada par (x,y) os f(x,y) são
\begin{array}{c|cccc} x\backslash y & 0 & 1 & 2 & 3\\hline 0 & 0,4 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0,15 & 0,10 & 0 & 0\\\\ 2 & 0,08 & 0,05 & 0,02 & 0\\\\ 3 & 0,04 & 0,02 & 0,02 & 0\\\\ 4 & 0,02 & 0,02 & 0,01 & 0,01\\\\ 5 & 0,01 & 0,01 & 0,02 & 0,02 \end{array}

Passo 2

(a) Regra para distribuição condicional: para qualquer x,
P(X=x\mid Y=2)=\frac{P(X=x,Y=2)}{P(Y=2)}=\frac{f(x,2)}{P(Y=2)}.
Primeiro calculo P(Y=2) somando a coluna y=2 (peguei os valores da coluna y=2 na tabela):
P(Y=2)=0 + 0 + 0,02 + 0,02 + 0,01 + 0,02.
Somando:
P(Y=2)=0,02+0,02+0,01+0,02=0,07.

Passo 3

Agora calculo P(X=x\mid Y=2) para cada x. Usando os f(x,2) da tabela e P(Y=2)=0,07:
  • Para x=0: f(0,2)=0, então P(X=0\mid Y=2)=0/0,07=0.
  • Para x=1: f(1,2)=0, então P(X=1\mid Y=2)=0.
  • Para x=2: f(2,2)=0,02, então
P(X=2\mid Y=2)=\frac{0,02}{0,07}=\frac{2}{7}\approx0,2857.
  • Para x=3: f(3,2)=0,02, então P(X=3\mid Y=2)=\frac{0,02}{0,07}=\frac{2}{7}.
  • Para x=4: f(4,2)=0,01, então P(X=4\mid Y=2)=\frac{0,01}{0,07}=\frac{1}{7}\approx0,1429.
  • Para x=5: f(5,2)=0,02, então P(X=5\mid Y=2)=\frac{0,02}{0,07}=\frac{2}{7}.
Verificação rápida: 0+0+\tfrac{2}{7}+\tfrac{2}{7}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{2}{7}=\tfrac{7}{7}=1, ok.

Passo 4

(b) Regra para esperança condicional:
E[Y\mid X=2]=\sum_{y} y\;P(Y=y\mid X=2)=\sum_{y} y\;\frac{f(2,y)}{P(X=2)}.
Primeiro P(X=2) é a soma da linha x=2 (peguei os três números da linha x=2 na tabela):
P(X=2)=0,08+0,05+0,02+0=0,15.
Agora as probabilidades condicionais P(Y=y\mid X=2)=f(2,y)/0,15:
  • P(Y=0\mid X=2)=0,08/0,15=\tfrac{8}{15}.
  • P(Y=1\mid X=2)=0,05/0,15=\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{15}.
  • P(Y=2\mid X=2)=0,02/0,15=\tfrac{2}{15}.
  • P(Y=3\mid X=2)=0.
Calculo da esperança:
E[Y\mid X=2]=0\cdot\tfrac{8}{15}+1\cdot\tfrac{1}{3}+2\cdot\tfrac{2}{15}.
Detalhando:
E[Y\mid X=2]=\tfrac{1}{3}+\tfrac{4}{15}=\tfrac{5}{15}+\tfrac{4}{15}=\tfrac{9}{15}=\tfrac{3}{5}=0,6.

Passo 5

(c) Para \operatorname{COV}(X,Y) uso a fórmula
\operatorname{COV}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y].
Vou calcular E[X], E[Y] e E[XY].
Marginal de X: somei cada linha (valores tomados da tabela):
\begin{aligned} P(X=0)&=0,4,\\\ P(X=1)&=0,15+0,10=0,25,\\\ P(X=2)&=0,08+0,05+0,02=0,15,\\\ P(X=3)&=0,04+0,02+0,02=0,08,\\\ P(X=4)&=0,02+0,02+0,01+0,01=0,06,\\\ P(X=5)&=0,01+0,01+0,02+0,02=0,06. \end{aligned}
Cálculo de E[X]=\sum_x xP(X=x):
E[X]=0\cdot0,4+1\cdot0,25+2\cdot0,15+3\cdot0,08+4\cdot0,06+5\cdot0,06.
Detalhando os termos:
E[X]=0+0,25+0,30+0,24+0,24+0,30=1,33.
Marginal de Y: somei cada coluna (valores da tabela):
\begin{aligned} P(Y=0)&=0,4+0,15+0,08+0,04+0,02+0,01=0,70,\\\ P(Y=1)&=0+0,10+0,05+0,02+0,02+0,01=0,20,\\\ P(Y=2)&=0+0+0,02+0,02+0,01+0,02=0,07,\\\ P(Y=3)&=0+0+0+0+0,01+0,02=0,03. \end{aligned}
Cálculo de E[Y]=\sum_y yP(Y=y):
E[Y]=0\cdot0,70+1\cdot0,20+2\cdot0,07+3\cdot0,03=0,20+0,14+0,09=0,43.
Agora E[XY]=\sum_{x}\sum_{y} x y f(x,y). Faço por linhas (usei os f(x,y) da tabela):
  • Linha x=0: contribui 0.
  • Linha x=1: 1\cdot1\cdot0,10=0,10.
  • Linha x=2: 2\cdot1\cdot0,05=0,10 e 2\cdot2\cdot0,02=0,08 total 0,18.
  • Linha x=3: 3\cdot1\cdot0,02=0,06 e 3\cdot2\cdot0,02=0,12 total 0,18.
  • Linha x=4: 4\cdot1\cdot0,02=0,08, 4\cdot2\cdot0,01=0,08, 4\cdot3\cdot0,01=0,12 total 0,28.
  • Linha x=5: 5\cdot1\cdot0,01=0,05, 5\cdot2\cdot0,02=0,20, 5\cdot3\cdot0,02=0,30 total 0,55.
Somando todas as contribuições:
E[XY]=0,10+0,18+0,18+0,28+0,55=1,29.
Finalmente a covariância:
\operatorname{COV}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=1,29 - 1,33\cdot0,43.
Calculo do produto 1,33\cdot0,43=0,5719, então
\operatorname{COV}(X,Y)=1,29-0,5719=0,7181.
Interpretação curta: \operatorname{COV}(X,Y)>0 indica que, em média, X e Y variam na mesma direção (mais acessos tendem a acompanhar mais vendas), mas para concluir independência precisamos checar a definição.

Passo 6

(d) Definição: X e Y são independentes se, para todo par (x,y),
f(x,y)=P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y).
Basta um contraexemplo para mostrar dependência. Por exemplo, peguei f(1,1) da tabela: f(1,1)=0,10. Compare com P(X=1)P(Y=1), usando os marginais calculados:
P(X=1)P(Y=1)=0,25\cdot0,20=0,05\neq 0,10.
Como f(1,1)\neq P(X=1)P(Y=1), as variáveis não são independentes. Observação adicional: a covariância positiva (não nula) também indica dependência.

Resposta

(a) P(X=0\mid Y=2)=0,\;P(X=1\mid Y=2)=0,\;P(X=2\mid Y=2)=\tfrac{2}{7},\;P(X=3\mid Y=2)=\tfrac{2}{7},\;P(X=4\mid Y=2)=\tfrac{1}{7},\;P(X=5\mid Y=2)=\tfrac{2}{7}.
(b) E[Y\mid X=2]=0,6.
(c) \operatorname{COV}(X,Y)=0,7181.
(d) Não (as variáveis são dependentes).

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