Suponha que T é uma v.a. com sunção de distribuição F(t). Então, o valor \rho de T que precede 25 \% de todos os valores é: ( 0,5 \mathrm{pt} )
(a) E(T)
(b) Q_{0,25}^{*}(T)
(c) Q_{0,75}^{*}(T)
(d) \operatorname{Var}(T).

Passo 1

O enunciado dá que T é uma variável aleatória com função de distribuição F(t). Pergunta: qual é o valor \rho de T que precede 25\% de todos os valores? As alternativas são:
(a) E(T)
(b) Q_{0,25}^{*}(T)
(c) Q_{0,75}^{*}(T)
(d) \operatorname{Var}(T)
Informações relevantes: temos a função de distribuição F(t)=P(T\le t) e queremos o ponto que deixa 25\% (isto é, um quarto) da massa à sua esquerda.

Passo 2

Entendendo o que significa “precede 25\% de todos os valores”: isso quer dizer que a fração de observações de T menores ou iguais a \rho é 25\%. Em termos de F, isso significa que o valor \rho satisfaz, idealmente,
F(\rho)=P(T\le \rho)=0,25.
Explicação didática: a função de distribuição F(t) dá, para cada t, a probabilidade acumulada até t. Quando pedimos o ponto que precede 25\%, procuramos o t cujo F(t) é 0,25.

Passo 3

Conceito matemático usado: quantil (ou percentil). Para 0<p<1, o quantil de ordem p é, formalmente,
Q_p=\inf\{t\in\mathbb{R}\mid F(t)\ge p\}.
Aqui, o quantil de ordem p=0,25 é exatamente o valor que separa a menor 25\% da distribuição do restante. Observação didática: usamos a definição com \inf para cobrir casos em que F tem saltos (distribuições discretas); se F for contínua e estritamente crescente, então Q_p é o único t tal que F(t)=p.

Passo 4

Relacionando com as alternativas: a notação Q_{0,25}^{*}(T) na alternativa (b) indica justamente o quantil (ou percentil) de ordem 0,25, ou seja, o 25\%-percentil — também chamado primeiro quartil. Portanto, por definição,
\rho = Q_{0,25}^{*}(T).
Explicação didática e intuitiva: Q_{0,25}^{*}(T) é o valor abaixo do qual se encontra 25\% da distribuição de T.

Passo 5

Por que as outras alternativas estão erradas:
  • E(T) (alternativa (a)) é a esperança (média) de T; isso não garante que 25\% dos valores sejam menores que a média — a média é uma medida de tendência central, não um percentil.
  • Q_{0,75}^{*}(T) (alternativa (c)) é o 75\%-percentil (terceiro quartil); ele deixa 75\% dos valores à esquerda, não 25\%.
  • \operatorname{Var}(T) (alternativa (d)) é a variância, uma medida de dispersão, sem relação direta com a posição de 25\% da massa.

Passo 6

Resumo final e motivação para a prova: quando o enunciado pede “o valor que precede p\% de todos os valores”, ele está pedindo o quantil de ordem p/100. Para p=25, o quantil é Q_{0,25}^{*}(T). Na prova, ao ver "precede x\%", já pensa imediatamente em quantil/percentil.

Resposta

(b)

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