Suponha que
é uma v.a. com sunção de distribuição
. Então, o valor
de
que precede
de todos os valores é: (
)
(a)
(b)
(c)
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória com função de distribuição
. Pergunta: qual é o valor
de
que precede
de todos os valores? As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações relevantes: temos a função de distribuição e queremos o ponto que deixa
(isto é, um quarto) da massa à sua esquerda.
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações relevantes: temos a função de distribuição
Passo 2
Entendendo o que significa “precede
de todos os valores”: isso quer dizer que a fração de observações de
menores ou iguais a
é
. Em termos de
, isso significa que o valor
satisfaz, idealmente,
Explicação didática: a função de distribuição
dá, para cada
, a probabilidade acumulada até
. Quando pedimos o ponto que precede
, procuramos o
cujo
é
.
Passo 3
Conceito matemático usado: quantil (ou percentil). Para
, o quantil de ordem
é, formalmente,
Aqui, o quantil de ordem
é exatamente o valor que separa a menor
da distribuição do restante. Observação didática: usamos a definição com
para cobrir casos em que
tem saltos (distribuições discretas); se
for contínua e estritamente crescente, então
é o único
tal que
.
Passo 4
Relacionando com as alternativas: a notação
na alternativa (b) indica justamente o quantil (ou percentil) de ordem
, ou seja, o
-percentil — também chamado primeiro quartil. Portanto, por definição,
Explicação didática e intuitiva:
é o valor abaixo do qual se encontra
da distribuição de
.
Passo 5
Por que as outras alternativas estão erradas:
-
(alternativa (a)) é a esperança (média) de ; isso não garante que dos valores sejam menores que a média — a média é uma medida de tendência central, não um percentil. -
(alternativa (c)) é o -percentil (terceiro quartil); ele deixa dos valores à esquerda, não . -
(alternativa (d)) é a variância, uma medida de dispersão, sem relação direta com a posição de da massa.
Passo 6
Resumo final e motivação para a prova: quando o enunciado pede “o valor que precede
de todos os valores”, ele está pedindo o quantil de ordem
. Para
, o quantil é
. Na prova, ao ver "precede
", já pensa imediatamente em quantil/percentil.
Resposta
(b)