3-100 A fish tank that contains 40-\mathrm{cm}-high water is moved in the cabin of an elevator. Determine the pressure at the bot-tom of the tank when the elevator is
moving down with a downward acceleration of 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a pressão no fundo de um aquário quando ele está sendo movido no interior de um elevador que acelera para baixo com 3\\ \mathrm{m/s^{2}}. Informações dadas e assumidas:
\begin{aligned} &\text{altura da coluna de água: } h=40\\ \mathrm{cm}=0,40\\ \mathrm{m},\\\ &\text{aceleração do elevador (para baixo): } a=3\\ \mathrm{m/s^{2}},\\\ &\text{densidade da água (assumida): } \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &\text{aceleração da gravidade (assumida): } g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}},\\\ &\text{pressão atmosférica (assumida): } p_{\mathrm{atm}}=1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}áçãáçããé
O que devemos encontrar: a pressão absoluta no fundo do tanque, p_{\text{fundo}}.

Passo 2

Conceito básico: pressão hidrostática numa coluna de fluido em repouso em relação ao recipiente. A fórmula padrão é
p_{\text{fundo}}=p_{\text{superfície}}+\rho g h,í
onde:
\begin{aligned} &p_{\text{fundo}}\\ \text{é a pressão no fundo},\\\ &p_{\text{superfície}}\\ \text{é a pressão na superfície livre do fluido (aqui }p_{\mathrm{atm}}\text{)},\\\ &\rho\\ \text{é a densidade do fluido},\\\ &g\\ \text{é a aceleração da gravidade},\\\ &h\\ \text{é a profundidade (altura da coluna de fluido)}. \end{aligned}éãíéãíééçãé
Explicando de maneira simples: cada camada de água exerce peso sobre a camada de baixo; esse peso por unidade de área aparece como aumento de pressão proporcional a \rho g h.

Passo 3

Efeito da aceleração do elevador (referencial não inercial): quando o elevador acelera para baixo com aceleração a, a água “sente” um peso aparente menor. Em termos práticos, substituímos g por uma gravidade efetiva
g_{\text{ef}}=g-a,
porque a aceleração para baixo reduz a aceleração efetiva que causa a pressão hidrostática. Assim a expressão para a pressão no fundo passa a ser
p_{\text{fundo}}=p_{\mathrm{atm}}+\rho\,(g-a)\,h.
Breve intuição: se a=g a água estaria em queda livre e não haveria pressão extra devido à coluna ( g-a=0); se a>g haveria comportamento invertido (situação não comum aqui).

Passo 4

Vamos converter e confirmar as unidades (já mencionadas em Passo 1, mas mostrando de forma explícita para não errar na prova):
h=40\\ \mathrm{cm}=0,40\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a gravidade efetiva:
g-a=9,8-3=6,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Calcular a contribuição da coluna de água (pressão manométrica):
\begin{aligned} p_{\text{coluna}}&=\rho\,(g-a)\,h\\[4pt] &=1000\cdot 6,8\cdot 0,40\\[4pt] &=1000\cdot(6,8\times 0,4)\\[4pt] &=1000\cdot 2,72\\[4pt] &=2720\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}
Aqui eu mostrei cada multiplicação: 6,8\times0,4=2,72 e depois vezes 1000 2720\\ \mathrm{Pa}.]

Passo 7

Somar a pressão atmosférica para obter a pressão absoluta no fundo:
\begin{aligned} p_{\text{fundo}}&=p_{\mathrm{atm}}+p_{\text{coluna}}\\[4pt] &=1,01\times10^{5}+2720\\[4pt] &=103720\\ \mathrm{Pa}\\[4pt] &=1,0372\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}
Comentário prático (útil na prova): se o elevador estivesse parado ( a=0), a pressão extra seria \rho g h=1000\cdot9,8\cdot0,4=3920\\ \mathrm{Pa}. Como o elevador acelera para baixo, a pressão no fundo ficou menor ( 2720\\ \mathrm{Pa}) do que no caso parado.]

Resposta

1,0372\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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