3-102 Milk with a density of
is transported on a level road in a
-long,
-diameter cylindrical tanker. The tanker is completely filled with milk (no air space), and it accelerates at
. If the minimum pressure in the tanker is 100 kPa , determine the maximum pressure and its location.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a pressão máxima dentro do tanque e onde ela ocorre, dado que a pressão mínima no tanque é
. Dados fornecidos:
- densidade do leite:
, - comprimento do tanque (no sentido do movimento):
, - diâmetro do cilindro (altura do fluido):
, - aceleração do caminhão (e do tanque):
, - aceleração da gravidade: usaremos
, - o tanque está completamente cheio (sem espaço de ar),
- pressão mínima dada:
.
As incógnitas que devemos responder são:
- qual é a pressão máxima
; - em que ponto do tanque essa pressão máxima ocorre (localização).
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas simples para localizar pontos do fluido:
- eixo
ao longo do comprimento do tanque, do lado frontal (junto à frente do caminhão) para o lado traseiro; na face frontal e na face traseira; - eixo
vertical, com no fundo do tanque e no topo interno do tanque.
Agora a parte física — como a pressão varia quando o tanque acelera. Em uma referência acelerada (o referencial ligado ao tanque) surge uma aceleração fictícia uniforme igual e oposta à aceleração do tanque. A consequência prática é que o campo efetivo de acelerações que determina a variação de pressão é composto por:
- componente horizontal devido à aceleração do caminhão (efeito inercial), que produz uma variação de pressão ao longo de
; - componente vertical devido à gravidade, que produz a variação usual de pressão com a profundidade.
A equação de equilíbrio hidrostático no referencial acelerado fornece as derivadas parciais da pressão:
Explicação didática curta: a primeira equação diz que, ao avançarmos no sentido positivo de
(da frente para a traseira), a pressão aumenta proporcionalmente a
porque o fluido tende a “ser empurrado” para trás quando o caminhão acelera para frente; a segunda é a clássica variação vertical (a pressão diminui ao subir) com gradiente
.
Integrando essas expressões (posição arbitrária de referência) obtemos uma expressão simples para a pressão em função de
e
:
onde
é a pressão em algum ponto de referência escolhido.
Passo 3
Determinar onde ocorre a pressão mínima e a máxima dentro do cilindro:
- Como
, a pressão aumenta conforme aumenta (isto é, aumenta indo da frente para a traseira). Portanto, para minimizar a pressão devemos escolher o menor , isto é (face frontal). - Como
, a pressão diminui ao subir; portanto, para minimizar a pressão devemos escolher o maior , isto é (topo interno).
Logo, o ponto de pressão mínima é o ponto frontal superior do interior do tanque:
. O enunciado nos diz que nesse ponto
.
Analogamente, para obter a pressão máxima devemos escolher o maior
(traseira,
) e o menor
(fundo,
). Assim o ponto de pressão máxima candidata é o ponto traseiro inferior:
.
Passo 4
Calcular a diferença entre
e
. Pelo modelo,
Mas
, portanto
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Soma:
- Multiplicar por
:
- Somar à pressão mínima:
Arredondando de forma conveniente (duas casas significativas coerentes com os dados),
Passo 5
Conclusão sobre localização: conforme a análise em
Resposta
Local: extremidade traseira, no fundo do tanque (ponto