3-102 Milk with a density of 1020 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} is transported on a level road in a 7-\mathrm{m}-long, 3-\mathrm{m}-diameter cylindrical tanker. The tanker is completely filled with milk (no air space), and it accelerates at 2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. If the minimum pressure in the tanker is 100 kPa , determine the maximum pressure and its location.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a pressão máxima dentro do tanque e onde ela ocorre, dado que a pressão mínima no tanque é 100\\ \mathrm{kPa}. Dados fornecidos:
  • densidade do leite: \rho = 1020\\ \mathrm{kg/m^{3}},
  • comprimento do tanque (no sentido do movimento): L = 7\\ \mathrm{m},
  • diâmetro do cilindro (altura do fluido): H = 3\\ \mathrm{m},
  • aceleração do caminhão (e do tanque): a = 2{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}},
  • aceleração da gravidade: usaremos g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},
  • o tanque está completamente cheio (sem espaço de ar),
  • pressão mínima dada: p_{\min} = 100\\ \mathrm{kPa}.
As incógnitas que devemos responder são:
  1. qual é a pressão máxima p_{\max};
  2. em que ponto do tanque essa pressão máxima ocorre (localização).

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas simples para localizar pontos do fluido:
  • eixo x ao longo do comprimento do tanque, do lado frontal (junto à frente do caminhão) para o lado traseiro; x=0 na face frontal e x=L na face traseira;
  • eixo y vertical, com y=0 no fundo do tanque e y=H no topo interno do tanque.
Agora a parte física — como a pressão varia quando o tanque acelera. Em uma referência acelerada (o referencial ligado ao tanque) surge uma aceleração fictícia uniforme igual e oposta à aceleração do tanque. A consequência prática é que o campo efetivo de acelerações que determina a variação de pressão é composto por:
  • componente horizontal devido à aceleração do caminhão (efeito inercial), que produz uma variação de pressão ao longo de x;
  • componente vertical devido à gravidade, que produz a variação usual de pressão com a profundidade.
A equação de equilíbrio hidrostático no referencial acelerado fornece as derivadas parciais da pressão:
\frac{\partial p}{\partial x}=\rho\,a
\frac{\partial p}{\partial y}=-\rho\,g
Explicação didática curta: a primeira equação diz que, ao avançarmos no sentido positivo de x (da frente para a traseira), a pressão aumenta proporcionalmente a \rho a porque o fluido tende a “ser empurrado” para trás quando o caminhão acelera para frente; a segunda é a clássica variação vertical (a pressão diminui ao subir) com gradiente -\rho g.
Integrando essas expressões (posição arbitrária de referência) obtemos uma expressão simples para a pressão em função de x e y:
p(x,y)=p_{\text{ref}}+\rho\,a\,x-\rho\,g\,y,
onde p_{\text{ref}} é a pressão em algum ponto de referência escolhido.

Passo 3

Determinar onde ocorre a pressão mínima e a máxima dentro do cilindro:
  • Como \partial p/\partial x=\rho a>0, a pressão aumenta conforme x aumenta (isto é, aumenta indo da frente para a traseira). Portanto, para minimizar a pressão devemos escolher o menor x, isto é x=0 (face frontal).
  • Como \partial p/\partial y=-\rho g<0, a pressão diminui ao subir; portanto, para minimizar a pressão devemos escolher o maior y, isto é y=H (topo interno).
Logo, o ponto de pressão mínima é o ponto frontal superior do interior do tanque: (x,y)=(0,H). O enunciado nos diz que nesse ponto p_{\min}=100\\ \mathrm{kPa}.
Analogamente, para obter a pressão máxima devemos escolher o maior x (traseira, x=L) e o menor y (fundo, y=0). Assim o ponto de pressão máxima candidata é o ponto traseiro inferior: (x,y)=(L,0).

Passo 4

Calcular a diferença entre p_{\max} e p_{\min}. Pelo modelo,
p_{\max}=p(L,0)=p(0,H)+\rho\bigl(a(L-0)-g(0-H)\bigr).
Mas p(0,H)=p_{\min}, portanto
p_{\max}=p_{\min}+\rho\bigl(aL+gH\bigr).
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo.
  1. Calcular aL:
aL=2{,}5\cdot 7=17{,}5\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  1. Calcular gH:
gH=9{,}81\cdot 3=29{,}43\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  1. Soma:
aL+gH=17{,}5+29{,}43=46{,}93\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  1. Multiplicar por \rho:
\rho\,(aL+gH)=1020\cdot 46{,}93=47868{,}6\\ \mathrm{Pa}.
  1. Somar à pressão mínima:
p_{\max}=100\,000\\ \mathrm{Pa}+47\,868{,}6\\ \mathrm{Pa}=147\,868{,}6\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma conveniente (duas casas significativas coerentes com os dados),
p_{\max}\approx147{,}9\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Conclusão sobre localização: conforme a análise em

Resposta

p_{\max}=147{,}9\\ \mathrm{kPa}
Local: extremidade traseira, no fundo do tanque (ponto (x,y)=(7\\ \mathrm{m},\,0\\ \mathrm{m})).

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