3-110 An air-conditioning system requires a
-long section of
-diameter ductwork to be laid underwater. Determine the upward force the water will exert on the duct. Take the densities of air and water to be
and 1000
, respectively.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a força para cima que a água exercerá sobre um trecho de duto submerso. Informações fornecidas pelo enunciado: \n
- comprimento do duto:
.\n
- diâmetro do duto:
.\n
- densidade do ar:
(dado).\n
- densidade da água:
(dado).\n
- considerar a aceleração da gravidade
(valor padrão).\n
Pergunta clara: qual é a força para cima (direção vertical ascendente) que a água exerce sobre o duto submerso?
Pergunta clara: qual é a força para cima (direção vertical ascendente) que a água exerce sobre o duto submerso?
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática): a força ascendente resultante que um fluido exerce sobre um corpo submerso é dada pelo Princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo
vale o peso do volume de fluido deslocado pelo corpo. Em fórmula:
onde
é a densidade do fluido (aqui a água),
é o volume do corpo submerso (volume de água deslocado) e
é a aceleração da gravidade. \n
Observação importante e por que o ar foi dado: o duto é oco e contém ar. A água desloca o volume total do duto (o volume cilíndrico externo), mas dentro do duto existe ar que exerce peso para baixo — se quisermos a força líquida que atua sobre a estrutura do duto (ou seja, o empuxo efetivo sobre o duto oco), devemos subtrair o peso do ar contido, porque o ar não contribui para o empuxo (o empuxo é sempre o peso do fluido deslocado), mas o ar dentro exerce um peso que reduz a resultante ascendente sobre a própria estrutura. Assim a força resultante para cima sobre o duto oco é
Observação importante e por que o ar foi dado: o duto é oco e contém ar. A água desloca o volume total do duto (o volume cilíndrico externo), mas dentro do duto existe ar que exerce peso para baixo — se quisermos a força líquida que atua sobre a estrutura do duto (ou seja, o empuxo efetivo sobre o duto oco), devemos subtrair o peso do ar contido, porque o ar não contribui para o empuxo (o empuxo é sempre o peso do fluido deslocado), mas o ar dentro exerce um peso que reduz a resultante ascendente sobre a própria estrutura. Assim a força resultante para cima sobre o duto oco é
Essa expressão é simplesmente o peso do volume de água deslocado menos o peso do ar que ocupa esse mesmo volume.
Passo 3
Calcular o volume do trecho do duto (cilindro): para um cilindro o volume é
onde
é o raio e
o comprimento. O raio é metade do diâmetro:
Agora o volume:
Vamos calcular passo a passo:
. Multiplicando por
dá
. Multiplicando por
:
Passo 4
Calcular o empuxo (peso da água deslocada) usando
:
Primeiro a massa de água equivalente:
.\n
Peso dessa massa: \n
Portanto o empuxo bruto é
Peso dessa massa:
Portanto o empuxo bruto é
Passo 5
Calcular o peso do ar que ocupa o interior do duto (porque esse peso reduz a resultante ascendente sobre a estrutura): \n
massa do ar no duto: \n
peso do ar:
massa do ar no duto:
peso do ar:
Passo 6
Força resultante para cima que a água exerce sobre o duto (empuxo efetivo sobre a estrutura oca) é o empuxo menos o peso do ar:
Numericamente:
Arredondando para três algarismos significativos (e lembrando que o valor do ar tem efeito desprezível), obtemos
para cima. Vai lá — é pouca diferença entre considerar ou não o ar, mas fizemos certinho.