3-110 An air-conditioning system requires a 20-\mathrm{m}-long section of 15-\mathrm{cm}-diameter ductwork to be laid underwater. Determine the upward force the water will exert on the duct. Take the densities of air and water to be 1.3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} and 1000 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}, respectively.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a força para cima que a água exercerá sobre um trecho de duto submerso. Informações fornecidas pelo enunciado: \n
\; - comprimento do duto: L=20\\ \mathrm{m}.\n
\; - diâmetro do duto: D=15\\ \mathrm{cm}=0,15\\ \mathrm{m}.\n
\; - densidade do ar: \rho_{\text{ar}}=1{,}3\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (dado).\n
\; - densidade da água: \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á (dado).\n
\; - considerar a aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 (valor padrão).\n
Pergunta clara: qual é a força para cima (direção vertical ascendente) que a água exerce sobre o duto submerso?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): a força ascendente resultante que um fluido exerce sobre um corpo submerso é dada pelo Princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo F_b vale o peso do volume de fluido deslocado pelo corpo. Em fórmula:
F_b=\rho_{\text{fluido}}\;V\;g,
onde \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (aqui a água), V é o volume do corpo submerso (volume de água deslocado) e g é a aceleração da gravidade. \n
Observação importante e por que o ar foi dado: o duto é oco e contém ar. A água desloca o volume total do duto (o volume cilíndrico externo), mas dentro do duto existe ar que exerce peso para baixo — se quisermos a força líquida que atua sobre a estrutura do duto (ou seja, o empuxo efetivo sobre o duto oco), devemos subtrair o peso do ar contido, porque o ar não contribui para o empuxo (o empuxo é sempre o peso do fluido deslocado), mas o ar dentro exerce um peso que reduz a resultante ascendente sobre a própria estrutura. Assim a força resultante para cima sobre o duto oco é
F_{\text{up}}=(\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{ar}})\;V\;g.á
Essa expressão é simplesmente o peso do volume de água deslocado menos o peso do ar que ocupa esse mesmo volume.

Passo 3

Calcular o volume do trecho do duto (cilindro): para um cilindro o volume é
V=\pi r^{2}L,
onde r é o raio e L o comprimento. O raio é metade do diâmetro:
r=\frac{D}{2}=\frac{0,15}{2}=0,075\\ \mathrm{m}.
Agora o volume:
V=\pi(0,075)^{2}(20).
Vamos calcular passo a passo: (0,075)^{2}=0{,}005625\\ \mathrm{m}^{2}. Multiplicando por 20 0{,}1125\\ \mathrm{m}^{3}. Multiplicando por \pi:
V=\pi\times 0{,}1125 \approx 0{,}35343\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Calcular o empuxo (peso da água deslocada) usando \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}á:
F_b=\rho_{\text{água}}\,V\,g = 1000\times 0{,}35343 \times 9{,}81.á
Primeiro a massa de água equivalente: 1000\times 0{,}35343 = 353{,}43\\ \mathrm{kg}.\n
Peso dessa massa: 353{,}43\times 9{,}81 \approx 3467{,}2\\ \mathrm{N}.\n
Portanto o empuxo bruto é F_b\approx 3467{,}2\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular o peso do ar que ocupa o interior do duto (porque esse peso reduz a resultante ascendente sobre a estrutura): \n
massa do ar no duto: m_{\text{ar}}=\rho_{\text{ar}}\,V = 1{,}3\times 0{,}35343 \approx 0{,}45946\\ \mathrm{kg}.\n
peso do ar: W_{\text{ar}}=m_{\text{ar}}\,g \approx 0{,}45946\times 9{,}81 \approx 4{,}51\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Força resultante para cima que a água exerce sobre o duto (empuxo efetivo sobre a estrutura oca) é o empuxo menos o peso do ar:
F_{\text{up}}=F_b - W_{\text{ar}}=(\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{ar}})\,V\,g.á
Numericamente:
F_{\text{up}}\approx 3467{,}2\\ \mathrm{N} - 4{,}51\\ \mathrm{N} \approx 3462{,}7\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos (e lembrando que o valor do ar tem efeito desprezível), obtemos
F_{\text{up}}\approx 3463\\ \mathrm{N}
para cima. Vai lá — é pouca diferença entre considerar ou não o ar, mas fizemos certinho.

Resposta

F_{\text{up}} \approx 3463\\ \mathrm{N}\\ (\text{para cima})

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