Questão 4: Qual o volume molar do \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) a 500 K e 600 bar de acorco com (a) a lei dos gases ideais e (b) a equação do virial? O coeficiente B da equação do virial para o \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) a 500 K é $0,0169 \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O que a questão pede e o que já foi dado: \n
  • Queremos o volume molar de \mathrm{N}_2(\mathrm{g}) nas condições T=500\\ \mathrm{K} e P=600\\ \mathrm{bar} usando duas formas distintas. \n
  • Dados fornecidos: \;T=500\\ \mathrm{K},\;P=600\\ \mathrm{bar} e o coeficiente de virial \;B=0,0169\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} (valor dado no enunciado). \n
  • Para cálculos usaremos a constante dos gases na forma compatível com bars e litros por mol: \;R=0,08314\\ \mathrm{L\;bar\;K^{-1}\;mol^{-1}}. \n
    As perguntas explícitas são: \n
    (a) calcular o volume molar usando a lei dos gases ideais; \n
    (b) calcular o volume molar usando a equação do virial (com o coeficiente B dado). \n

Passo 2

Breve revisão da lei dos gases ideais e como aplicá‑la (aula rápida): \n
  • A lei dos gases ideais para uma mol é PV_m = RT, onde \;P é a pressão, \;V_m é o volume molar (volume por mol), \;R é a constante dos gases e \;T a temperatura absoluta. \n
  • Todas as quantidades devem estar em unidades coerentes com R. Aqui usamos P em \mathrm{bar}, V_m em \mathrm{L\;mol^{-1}}, T em \mathrm{K} e R=0,08314\\ \mathrm{L\;bar\;K^{-1}\;mol^{-1}}. \n
Agora aplicamos: calculemos primeiro o produto \;RT: RT = 0,08314 \times 500 = 41,57\\ \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}}.

Passo 3

Cálculo do volume molar pelo gás ideal (execução passo a passo): \n
  • Resolver \;V_m=\dfrac{RT}{P}. Substituindo os valores: V_m = \frac{41,57}{600}. \n
  • Dividindo: V_m \approx 0,0692833\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}. \n
  • Arredondando razoavelmente (mantendo 4 casas significativas): V_m \approx 0,06928\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}. \n
Observação prática: em \mathrm{cm^3\;mol^{-1}} isso corresponde a \;0,06928\times1000\approx69,28\\ \mathrm{cm^3\;mol^{-1}} (só para intuir a magnitude).

Passo 4

Explicação da equação do virial e escolha da forma usada: \n
  • A equação do virial corrige o comportamento ideal incluindo termos que dependem do volume molar. Uma forma truncada (somente até o segundo termo) é escrita em termos do fator de compressibilidade Z: Z \equiv \frac{P V_m}{RT} = 1 + \frac{B}{V_m}, onde \;B é o segundo coeficiente virial (tem unidades de volume por mol, aqui \mathrm{L\;mol^{-1}}). \n
  • Nesta expressão: \;Z é adimensional, \;P em \mathrm{bar}, \;V_m em \mathrm{L\;mol^{-1}}, \;R e \;T como antes, e \;B no mesmo sistema de unidades. \n
  • A equação acima é adequada porque o enunciado deu B em \mathrm{L\;mol^{-1}} — portanto usamos a forma com \dfrac{B}{V_m}. \n

Passo 5

Deduzir a equação para V_m a partir da forma do virial e montar a equação a resolver: \n
  • Partindo de \dfrac{P V_m}{RT} = 1 + \dfrac{B}{V_m}, multiplicamos ambos os lados por RT: P V_m = RT\left(1+\frac{B}{V_m}\right). \n
  • Multiplicamos agora ambos os lados por V_m para eliminar denominadores: P V_m^2 = RT\,V_m + RT\,B. \n
  • Isolando tudo de um lado temos uma quadrática em V_m: P V_m^2 - RT\,V_m - RT\,B = 0. \n
Essa é uma equação do tipo \;a V_m^2 + b V_m + c = 0 com \;a=P,\; b=-RT,\; c=-RTB. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).

Passo 6

Resolver a quadrática (cálculo numérico passo a passo): \n
  • Fórmula das raízes: V_m=\frac{RT \pm \sqrt{(RT)^2 + 4P\,RT\,B}}{2P}, note que trocamos o sinal porque b=-RT. \n
  • Já calculamos \;RT=41,57\\ \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}}. Vamos calcular o discriminante: \Delta = (RT)^2 + 4P\,RT\,B. \n
  • Primeiro termo: (RT)^2 = 41,57^2 = 1728,0749\\ (\text{aprox.}). \n
  • Segundo termo: 4P\,RT\,B = 4\times600\times41,57\times0,0169 = 1686,0792\\ (\text{aprox.}). \n
  • Soma: \Delta \approx 1728,0749 + 1686,0792 = 3414,1541. \n
  • Raiz do discriminante: \sqrt{\Delta} \approx 58,4308. \n
  • Tomando a raiz positiva fisicamente relevante (soma no numerador) temos: V_m = \frac{41,57 + 58,4308}{2\times600} = \frac{100,0008}{1200}. \n
  • Dividindo: V_m \approx 0,08333399\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}. \n
  • Arredondando de forma consistente: V_m \approx 0,08333\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 7

Interpretação dos resultados e comparação (motivação para prova): \n
  • Resultado ideal: \;V_m\approx0,06928\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}. Resultado com virial: \;V_m\approx0,08333\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}. \n
  • Aqui B>0 faz com que o fator de compressibilidade Z=1+\dfrac{B}{V_m}>1, ou seja, o gás se comporta menos comprimível que o ideal sob essas condições e o volume molar real (pela aproximação do virial) fica maior que o previsto pelo gás ideal. \n
  • Diferença relativa aproximada: \dfrac{0,08333-0,06928}{0,06928}\approx0,203 → cerca de 20{,}3\% maior. \n
    Força prática: ao fazer cálculos na prova, sempre verifique unidades (R compatível) e escolha a forma do virial coerente com as unidades do coeficiente B.

Resposta

(a) \;V_m \approx 0,06928\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}\n
(b) \;V_m \approx 0,08333\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}

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