100 \mathrm{lbmoles} / \mathrm{h} de uma mistura equimolar de etanol/água deve ser fracionada para produzir um produto de topo com 80 \% molar de etanol, um produto de fundo com 10 \% de etanol e um produto lateral com 60 \% de etanol. A condição térmica da carga é 20 \% vaporizada e a retirada lateral é líquida saturada com uma vazão de 15 \% da vazão de alimentação da coluna. A coluna está equipada com condensador total e refervedor parcial. Pelo método de McCabe-Thiele, determine:
a) A razão de refluxo mínima ( 0,5 \mathrm{pt} );
b) Número de pratos teóricos para uma \mathrm{R}_{\mathrm{R}}=2 \mathrm{R}_{\mathrm{R}} \min (1,0 \mathrm{pt});
c) As razões de refluxo internas em cada seção da coluna ( 1,0 \mathrm{pt} );
d) O prato ótimo de carga ( 0,5 \mathrm{pt} );
e) O prato da retirada lateral ( 0,5 \mathrm{pt} ).
Passo 1
O enunciado pede que, usando o método de McCabe–Thiele, se determine:
a) a razão de refluxo mínima;
b) o número de pratos teóricos quando a razão de refluxo escolhida é \mathrm{R}=2\mathrm{R}_{\min};
c) as razões de refluxo internas em cada seção da coluna (rectificadora e de estripping/abaixo da retirada lateral);
d) o prato ótimo de carga (posição teórica do prato de alimentação);
e) o prato da retirada lateral (posição do prato onde se retira a corrente lateral).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Vazão de alimentação: \;F = 100\\ \mathrm{lbmoles/h}.
Mistura equimolar etanol/água: fração molar de etanol na alimentação \;z_F = 0,5.
Produto de topo (destilado) com fração molar de etanol \;x_D = 0,80.
Produto de fundo com fração molar de etanol \;x_B = 0,10.
Produto lateral (líquido saturado) com fração molar de etanol \;x_S = 0,60.
Condição térmica da carga: 20\% vaporizada \Rightarrow fração líquida da alimentação \;q = 1 - 0{,}20 = 0{,}80.
Retirada lateral líquida saturada com vazão \;S = 15\% da alimentação \Rightarrow\;S = 0{,}15\cdot F = 15\\ \mathrm{lbmoles/h}.
Coluna com condensador total e refervedor parcial.
Observações importantes (a partir do enunciado): para aplicar McCabe–Thiele é obrigatório conhecer a curva de equilíbrio líquido–vapor \;y = f(x) (ou ao menos a volatilidade relativa \alpha ou tabelas VLE para etanol/água na pressão de operação). Essa curva/estrutura de VLE NÃO foi fornecida no enunciado que você mandou.
A partir daqui começamos a resolver o que for possível com os dados disponíveis; quando for necessário usar a curva de equilíbrio eu vou explicar exatamente o que falta e como usar.
Passo 2
Primeiro faço os balanços de matéria (total e componente) para encontrar as vazões dos produtos D e B — essa parte é determinística e não precisa da curva de equilíbrio.
Balanço total:
F = D + S + B \quad\Rightarrow\quad 100 = D + 15 + B \;\Rightarrow\; B = 85 - D.
A seguir dou a “aula” necessária sobre o método de McCabe–Thiele e as fórmulas que serão usadas. Vou ser bem prático e explicativo para você conseguir aplicar isso na prova assim que obtiver (ou tiver) a curva de equilíbrio.
Conceitos e variáveis
x: fração molar do componente mais volátil (etanol) na fase líquida; y: fração molar do etanol na fase vapor. A curva de equilíbrio é y = f(x).
Refluxo L: vazão do líquido retornado ao topo (refluxo líquido). Razão de refluxo R é definida como R = \dfrac{L}{D} (com condensador total).
Em regime com condensador total e sem retirada de vapor, a vazão de vapor que atravessa a coluna é constante em toda a coluna (vamos chamar essa vazão de vapor de V). Para a região rectificadora (acima da retirada lateral) temos: L = R D e V = L + D = (R+1)D.
A linha de operação da seção rectificadora (operating line) pode ser escrita como:
\text{(rectificadora)}\qquad y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
Observação: a inclinação desta reta é m_\text{rect}=\dfrac{R}{R+1} e intercepto =\dfrac{x_D}{R+1}. A reta passa por (x_D,x_D).
A linha de alimentação (q-line) tem inclinação \dfrac{q}{q-1} e passa por (z_F,z_F). No caso:
Sobre o cálculo da razão de refluxo mínima \mathrm{R}_{\min}
No método gráfico de McCabe–Thiele, \mathrm{R}_{\min} é obtida quando a linha de operação rectificadora se torna tangente à curva de equilíbrio (isto é, quando há um “aperto” entre a rectificadora e a curva de equilíbrio acima do ponto de alimentação). Matematicamente, para o ponto de tangência x_t devemos ter simultaneamente:
y_{eq}(x_t) = m\, x_t + (1-m) x_D
e
\frac{dy_{eq}}{dx}\bigg|_{x_t} = m,
onde m é a inclinação da rectificadora no caso mínimo. A relação entre m e R_{\min} é
m = \frac{R_{\min}}{R_{\min}+1}\quad\Rightarrow\quad R_{\min}=\frac{m}{1-m}.
Portanto, para achar numericamente \mathrm{R}_{\min} preciso da função y_{eq}(x) e de sua derivada (ou da volatilidade relativa \alpha constante que permita escrever y_{eq} analiticamente). Sem a curva de equilíbrio NÃO dá para obter o valor numérico de \mathrm{R}_{\min}.
Como se acha o número de pratos teóricos dado um R (McCabe–Thiele)
Depois de escolher R (por exemplo R=2R_{\min}), traça-se a rectificadora y = \dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{x_D}{R+1}, traça-se a curva de equilíbrio y=f(x) e começa-se no ponto (x_D,x_D):
desce verticalmente até a curva de equilíbrio (encontrando x líquido correspondente);
avança horizontalmente até a rectificadora;
e repete (escada) até alcançar o ponto correspondente à retirada lateral x_S. Nesse ponto você identificará o número de pratos acima da retirada lateral. Ao atravessar o ponto da retirada lateral, deve-se passar a usar a linha de operação da seção de estripping (abaixo), que depende dos balanços naquela seção (ver próximo item).
Portanto, contar pratos na prática exige o gráfico da curva de equilíbrio — sem ela não há como “saltar” entre as rectas e as curvas e contar degraus.
Efeito da retirada lateral nas linhas de operação internas (fórmulas úteis)
Como a retirada é líquida, a vazão de vapor V em toda a coluna permanece (na prática) a mesma se não houver retirada de vapor. Assim:
V = (R+1)D.
A vazão de líquido na seção rectificadora (acima da retirada) é
L_\text{rect} = R\,D.
A vazão de líquido na seção de estripping (abaixo da retirada), por causa da retirada líquida S, é
L_\text{strip} = L_\text{rect} - S = R D - S.
As razões internas líquido/vapor (que você chamou de “razões de refluxo internas em cada seção”) podem ser expressas como:
\text{abaixo (strip):}\qquad \frac{L_\text{strip}}{V}=\frac{R D - S}{(R+1)D}=\frac{R - S/D}{R+1}.
Note que eu já calculei S/D\approx 0{,}323529 no Passo 2; com um valor numérico de R (por exemplo R=2R_{\min}) você pode inserir e obter números concretos.
Sobre localização ótima do prato de alimentação e da retirada lateral
O “prato ótimo de carga” (prato de alimentação) é normalmente o prato que minimiza o número total de pratos quando se conta degraus para cima e para baixo a partir do ponto onde a linha de alimentação corta o traçado. Na prática, no gráfico de McCabe–Thiele você localiza o ponto onde a q-line intersecta as etapas desenhadas e o prato correspondente é o prato ótimo. Não há fórmula fechada simples que dê o índice do prato sem o gráfico (exceto fazer contas com etapas fracionárias). Logo, para determinar numericamente o prato ótimo da carga é necessário ter a curva de equilíbrio e desenhar/contar as etapas.
O “prato da retirada lateral” ocorre no estágio em que a composição líquida é igual a x_S. Em termos práticos: ao fazer os passos no gráfico, você para quando o valor de x líquido atinge 0{,}60 — esse degrau corresponde ao prato de retirada. Assim, para determinar numericamente qual é o número do prato da retirada também é preciso o gráfico (ou um cálculo em tabela das composições estágio a estágio que depende da curva de equilíbrio).
Passo 4
Vou sintetizar o que falta e como proceder assim que você tiver a informação que falta (ou se na sua prova a curva de equilíbrio / tabela VLE / volatilidade relativa for fornecida):
O que está faltando (obrigatório para obter respostas numéricas):
A curva VLE y=f(x) para etanol/água na pressão de operação da coluna OU pelo menos a volatilidade relativa \alpha constante assumida (ex.: \alpha = \text{const}) que permita escrever y=f(x). Sem um desses não há como:
traçar a curva de equilíbrio,
encontrar o ponto de tangência para \mathrm{R}_{\min},
traçar as rectificadoras/stripping e contar degraus para o número de pratos,
determinar numericamente o prato ótimo de alimentação ou o prato de retirada lateral.
Como você procede na prova (passo a passo assim que tiver a curva VLE):
Plote a curva de equilíbrio y=f(x) (ou use a expressão analítica se \alpha for constante).
Desenhe o diagrama 45º (linha y=x), marque x_D=0{,}80, x_S=0{,}60, x_B=0{,}10, z_F=0{,}5.
Desenhe a q-line: y = -4x + 2{,}5.
Para obter \mathrm{R}_{\min}: encontre a reta que passe por (x_D,x_D) e que seja tangente à curva de equilíbrio; calcule sua inclinação m; então \mathrm{R}_{\min}=\dfrac{m}{1-m}.
Escolha R = 2\mathrm{R}_{\min}. Desenhe a rectificadora com esta R: y = \dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{x_D}{R+1}.
Começando em (x_D,x_D) faça os “passos” (vertical até a curva de equilíbrio, horizontal até a rectificadora) até atingir x_S = 0{,}60. Conte quantos degraus ocorreram acima da retirada — esse é o número de pratos na rectificadora.
Ao atingir x_S mude para a linha de operação da seção de estripping (que pode ser obtida por balanços entre S e B) e continue os passos até x_B para contar os pratos da seção de estripping. O total será soma das duas seções (sem contar o condensador como prato, contar só pratos teóricos).
Para obter as razões internas numéricas use as fórmulas do Passo 3 com o valor de R obtido: \dfrac{L_\text{rect}}{V}=\dfrac{R}{R+1} e \dfrac{L_\text{strip}}{V}=\dfrac{R - S/D}{R+1}. Lembre que S/D já foi calculado.
Passo 5
Exemplo ilustrativo (APENAS PARA TREINO — não substituirá os cálculos da sua prova se eles fornecerem a curva real):
Se em algum momento a prova diz “assuma \alpha = 2{,}0 (constante)”, então você poderia derivar a curva de equilíbrio analítica idealizada:
y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x},
usar essa y(x) para encontrar a tangência (resolver numericamente o sistema y(x_t)=m x_t + (1-m)x_D e y'(x_t)=m), achar m, então R_{\min}, e daí seguir os passos do item anterior. Eu posso mostrar esse cálculo completo se você me disser a curva VLE ou um valor de \alpha.
Resposta
a) Não é possível determinar numericamente \mathrm{R}_{\min} sem a curva de equilíbrio y=f(x) (ou a volatilidade relativa \alpha) para o sistema etanol/água na pressão considerada.
b) Não é possível determinar numericamente o número de pratos para \mathrm{R}=2\mathrm{R}_{\min} sem a curva de equilíbrio (ou \alpha).
c) Não é possível fornecer valores numéricos das razões internas sem conhecer \mathrm{R}_{\min} (portanto sem a curva de equilíbrio); em forma simbólica:
onde D\approx 46{,}4286 e \dfrac{S}{D}\approx 0{,}323529.
d) Não é possível determinar numericamente o prato ótimo de carga sem desenhar as etapas sobre a curva de equilíbrio (ou ter expressão analítica para y=f(x)).
e) Não é possível determinar numericamente o prato da retirada lateral sem desenhar as etapas (o prato de retirada é o estágio onde x_\text{líquido}=x_S=0{,}60í ao fazer McCabe–Thiele).