Considere um processo de destilação, operando a \mathrm{P}=1 bar, alimentado com as correntes F1 ( 100 \mathrm{gmol} / \mathrm{s}, vapor saturado, 70 \% \mathrm{gmol} de " 1 " e 30 \% gmol de “2”) e F2 ( 100 \mathrm{gmol} / \mathrm{s}, líquido saturado, 30 \% \mathrm{gmol} de " 1 " e 70 \% \mathrm{gmol} de " 2 "). O processo utiliza condensador total e refervedor parcial, devendo gerar destilado com 98 \% \mathrm{~mol} de " 1 " ( X_{D}=0,98 ) e fundo com 2 \% mol de " 1 " ( X_{B}=0,02 ). Dados termodinâmicos a 1 bar são listados abaixo, onde x e y representam as frações molares de " 1 ":
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y=\frac{2,3 \cdot x \cdot \exp (0,1-0,1 \cdot x)}{1-x+2,3 \cdot x \cdot \exp (0,1-0,1 \cdot x)}
  • Entalpia de Vapor Saturado em kJ/gmol ( \mathrm{P}=1 bar) : H^{\text {sat }}=50+10 . y
  • Entalpia de Líquido Saturado em \mathrm{kJ} / \mathrm{gmol}(\mathrm{P}=1 \text { bar })^{p} h ^{\text {sat }}=10+20 . x
Para este processo, responda:
Com o Método de McCabe-Thiele,
a) determine a razão de refluxo mínima ( \mathrm{R}_{\mathrm{RMIN}} ) necessária;
b) determine o número mínimo de estágios necessários.

Passo 1

O enunciado pede, para uma coluna com condensador total e refervedor parcial operando a \mathrm{P}=1 bar, usando o Método de McCabe–Thiele:
  • (a) a razão de refluxo mínima \mathrm{R}_{\mathrm{RMIN}} necessária para obter X_{D}=0{,}98 e X_{B}=0{,}02;
  • (b) o número mínimo de estágios teóricos necessários (isto é, o número de estágios no caso de refluxo total — o menor número possível de estágios para esta separação).
Informações/valores dados (resumidos, todos mantidos em unidades \mathrm{gmol/s} e \mathrm{kJ/gmol} quando aplicável):
  • Correntes de alimentação: F_{1}=100 (vapor saturado, y_{1}=0{,}70 para o componente “1”) e F_{2}=100 (líquido saturado, x_{2}=0{,}30 para o componente “1”).
  • Total de alimentação: F=F_{1}+F_{2}=200.
  • Composição global da alimentação (componente “1”): z_F=\dfrac{100\cdot0{,}70+100\cdot0{,}30}{200}=0{,}50.
  • Objetivos da separação: destilado X_D=0{,}98, fundo X_B=0{,}02.
  • Curva de equilíbrio (já fornecida):
y=\frac{2{,}3\,x\,\exp(0{,}1-0{,}1x)}{1-x+2{,}3\,x\,\exp(0{,}1-0{,}1x)}.
  • Entalpias (a 1 bar):
H^{\text{sat (vapor)}}=50+10\;y,\qquad H^{\text{sat (líquido)}}=10+20\;x.í
No Passo 2 em diante vou explicar passo a passo como determinar q, traçar a q‑line, encontrar o ponto de interseção q‑line × curva de equilíbrio (o “pinch”), calcular a inclinação da reta de enriquecimento que passa por (X_D,X_D) e pelo ponto de pinch e, daí, obter \mathrm{R}_{\mathrm{RMIN}}. Depois vou estimar o número mínimo de estágios no caso de refluxo total por iterações (método padrão McCabe–Thiele).

Passo 2

Cálculo da entalpia da alimentação combinada e do parâmetro térmico q.
Por que precisamos de q?
  • O parâmetro q é a fração molar do fluxo de alimentação que entra como líquido saturado (ou, mais precisamente, a fração do fluxo que precisa ser vaporizada para transformar a alimentação em vapor saturado à pressão de alimentação). Ele define a inclinação e intercepto da q‑line, que é essencial no McCabe–Thiele para posicionar o ponto onde o trecho de enriquecimento conecta-se ao trecho de empobrecimento.
Como calcular q com entalpias:
q=\frac{H_F - H_L^{\text{sat}}(z_F)}{H_V^{\text{sat}}(z_F) - H_L^{\text{sat}}(z_F)},
onde H_F é a entalpia molar média da alimentação (média ponderada das entalpias das correntes F1 e F2), H_L^{\text{sat}}(z_F) e H_V^{\text{sat}}(z_F) são as entalpias de líquido e vapor saturados na composição da alimentação z_F.
Calculemos passo a passo:
Entalpias das correntes individuais (usei os dados do enunciado):
  • Para F_1 (vapor, y_1=0{,}70):
H_{F1}=50+10\cdot y_1=50+10\cdot0{,}70=57\\ \mathrm{kJ/gmol}.
  • Para F_2 (líquido, x_2=0{,}30):
H_{F2}=10+20\cdot x_2=10+20\cdot0{,}30=16\\ \mathrm{kJ/gmol}.
Entalpia média da alimentação:
H_F=\frac{F_1 H_{F1} + F_2 H_{F2}}{F_1+F_2} =\frac{100\cdot57 + 100\cdot16}{200} =\frac{7300}{200}=36{,}5\\ \mathrm{kJ/gmol}.
Entalpias de líquido e vapor saturados na composição da alimentação z_F=0{,}50.
Primeiro, para x=z_F=0{,}50 precisamos do y de equilíbrio correspondente (usando a curva dada). Calculei:
\exp(0{,}1-0{,}1\cdot0{,}5)=\exp(0{,}05)\approx1{,}051271,
N=2{,}3\cdot0{,}5\cdot1{,}051271\approx1{,}20998,\quad D=1-0{,}5+N\approx1{,}70998,
y(z_F)=\frac{N}{D}\approx0{,}707.
Então:
H_L^{\text{sat}}(z_F)=10+20\cdot0{,}5=20\\ \mathrm{kJ/gmol},
H_V^{\text{sat}}(z_F)=50+10\cdot y(z_F)\approx50+10\cdot0{,}707=57{,}07\\ \mathrm{kJ/gmol}.
Agora q:
q=\frac{36{,}5 - 20}{57{,}07 - 20}=\frac{16{,}5}{37{,}07}\approx0{,}445.
Interpretação rápida e positiva: q\approx0{,}445 significa que a alimentação é parcialmente vapor (aprox. 44{,}5\% em equivalência de liquido), que condiz com termos práticos: misturamos 100 gmol vapor saturado + 100 gmol líquido saturado, mas as entalpias locais definem esse q efetivo.

Passo 3

Equação da q‑line e visualização do que procuramos no McCabe–Thiele.
A q‑line tem a forma (forma usual para traçar em diagrama y vs x):
y=\frac{q}{q-1}\,x - \frac{z_F}{q-1}.
Substituindo q\approx0{,}445 e z_F=0{,}50:
\frac{q}{q-1}=\frac{0{,}445}{-0{,}555}\approx-0{,}8018018,\qquad -\frac{z_F}{q-1}=-\frac{0{,}5}{-0{,}555}\approx0{,}9009009.
Logo a q‑line é aproximadamente
y=-0{,}8018\,x + 0{,}9009.
No diagrama y vs x:
  • Temos a curva de equilíbrio y=y_{\text{eq}}(x) dada;
  • A q‑line dada acima;
  • O ponto (X_D,X_D)=(0{,}98,0{,}98).
    Para encontrar \mathrm{R}_{\mathrm{RMIN}} pelo procedimento gráfico/analítico, localizamos o ponto de interseção entre a q‑line e a curva de equilíbrio que fica acima da alimentação (o “pinch” na porção de enriquecimento). Esse ponto é o ponto onde a operação no mínimo refluxo fica “pinchada”: a reta de enriquecimento que passa por (X_D,X_D) e por esse ponto de interseção é a reta de operação no refluxo mínimo. Assim, a estratégia é:
  1. Resolver a equação de interseção
y_{\text{eq}}(x)=y_q(x),
para obter x_{\text{pin}} e y_{\text{pin}}.
2. Calcular a inclinação m da reta que passa por (X_D,X_D) e (x_{\text{pin}},y_{\text{pin}}):
m=\frac{y_{\text{pin}}-X_D}{x_{\text{pin}}-X_D}.
  1. Como a reta de enriquecimento tem forma y=\dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{X_D}{R+1}, sua inclinação é \dfrac{R}{R+1}. Assim
R_{\min}=\frac{m}{1-m}.

Passo 4

Determinação numérica do ponto de interseção q‑line × curva de equilíbrio (o “pinch”).
Resolve-se numericamente y_{\text{eq}}(x)-y_q(x)=0. Fiz aproximações numéricas controladas (método de bissecção/interpolação) para encontrar a raiz. Resultados (mostro os valores relevantes):
Testes rápidos mostraram sinal de mudança entre x=0{,}35 e x=0{,}40. Afinei a busca e encontrei:
x_{\text{pin}}\approx0{,}378,\qquad y_{\text{pin}}=y_{\text{eq}}(x_{\text{pin}})\approx0{,}598.
(Verificação: inserindo x_{\text{pin}}=0{,}378 em y_q(x) obtém‑se praticamente o mesmo valor 0{,}598.)
Explicação curta da técnica: calculei y_{\text{eq}}(x) pela fórmula dada e comparei com y_q(x)=-0{,}8018x+0{,}9009. A raiz desta diferença fornece x_{\text{pin}}. Usei interpolação linear local para convergir ao valor apresentado com precisão adequada para cálculo de R_{\min}.

Passo 5

Cálculo da inclinação m da reta de enriquecimento que une (X_D,X_D)=(0{,}98,0{,}98) a (x_{\text{pin}},y_{\text{pin}}), e então \mathrm{R}_{\mathrm{RMIN}}.
Inclinação:
m=\frac{y_{\text{pin}}-X_D}{x_{\text{pin}}-X_D} =\frac{0{,}5979-0{,}98}{0{,}378-0{,}98} =\frac{-0{,}3821}{-0{,}602} \approx0{,}6348.
Relação entre m e R:
m=\frac{R}{R+1}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{m}{1-m}.
Logo
R_{\min}=\frac{0{,}6348}{1-0{,}6348}=\frac{0{,}6348}{0{,}3652}\approx1{,}739.
Arredondando convenientemente, tomo \mathrm{R}_{\mathrm{RMIN}}\approx1{,}74.
Comentário intuitivo: isso significa que, abaixo de R\approx1{,}74, a reta de enriquecimento que passa por (X_D,X_D) e intercepta a q‑line vai “pinchar” com a curva de equilíbrio e não existirá operação estável para a separação desejada.

Passo 6

Cálculo do número mínimo de estágios teóricos (caso de refluxo total).
Definição e método prático: o número mínimo de estágios (denotado frequentemente por N_{\min} em textos) é obtido no caso de refluxo total (refluxo infinito). No diagrama, a reta de operação de enriquecimento fica y=x (inclinada 45°). O procedimento numérico-padrão é:
  • Partir de x^{(0)}=X_D.
  • Encontrar x^{(1)} tal que y_{\text{eq}}(x^{(1)})=x^{(0)}.
  • Repetir: x^{(k+1)} é o x que satisfaz y_{\text{eq}}(x^{(k+1)})=x^{(k)}.
  • Continuar até x^{(N)}\le X_B. O N encontrado é o número mínimo de estágios (cada iteração corresponde a um estágio teórico).
Fiz essa iteração numericamente (resolvendo y_{\text{eq}}(x)= valor desejado por interpolação local). Mostro a sequência encontrada (arredondada a 3‑4 casas decimais para clareza):
\begin{aligned} x^{(0)} &= X_D = 0{,}98\\\ x^{(1)} &\approx 0{,}955 \quad\text{(pois }y(0{,}955)\approx0{,}98\text{)}\\\ x^{(2)} &\approx 0{,}9015\quad\text{(pois }y(0{,}9015)\approx0{,}955\text{)}\\\ x^{(3)} &\approx 0{,}7956\quad\text{(pois }y(0{,}7956)\approx0{,}9015\text{)}\\\ x^{(4)} &\approx 0{,}6194\quad\text{(pois }y(0{,}6194)\approx0{,}7956\text{)}\\\ x^{(5)} &\approx 0{,}3996\quad\text{(pois }y(0{,}3996)\approx0{,}6194\text{)}\\\ x^{(6)} &\approx 0{,}2109\quad\text{(pois }y(0{,}2109)\approx0{,}3996\text{)}\\\ x^{(7)} &\approx 0{,}0959\quad\text{(pois }y(0{,}0959)\approx0{,}2109\text{)}\\\ x^{(8)} &\approx 0{,}0402\quad\text{(pois }y(0{,}0402)\approx0{,}0959\text{)}\\\ x^{(9)} &\approx 0{,}01625\quad\text{(pois }y(0{,}01625)\approx0{,}0402\text{)}. \end{aligned}
Neste ponto x^{(9)}\approx0{,}01625 já é menor que X_B=0{,}02. Portanto são necessários 9 passos (9 estágios teóricos) para ir de X_D até um líquido cujo x fique abaixo de X_B. Em terminologia de McCabe–Thiele, isto corresponde a N_{\min}=9 estágios teóricos no caso de refluxo total (este é o menor número de estágios possível para obter a separação desejada).
Observação prática: ao contar estágios em diagramas McCabe–Thiele normalmente cada “degrau” (horizontal + vertical) corresponde a um estágio teórico; a forma como contei com a iteração inversa é equivalente e produz o mesmo N.

Resposta

(a) \mathrm{R}_{\mathrm{RMIN}}\approx1{,}74 \n
(b) Número mínimo de estágios (refluxo total): N_{\min}=9

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