Considere um processo de destilação, operando a
bar, alimentado com as correntes F1 (
, vapor saturado,
de " 1 " e
gmol de “2”) e F2 (
, líquido saturado,
de " 1 " e
de " 2 "). O processo utiliza condensador total e refervedor parcial, devendo gerar destilado com
de " 1 " (
) e fundo com
mol de " 1 " (
). Dados termodinâmicos a 1 bar são listados abaixo, onde x e y representam as frações molares de " 1 ":
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- Entalpia de Vapor Saturado em kJ/gmol (
bar) :
- Entalpia de Líquido Saturado em
h
Para este processo, responda:
Com o Método de McCabe-Thiele,
a) determine a razão de refluxo mínima (
) necessária;
b) determine o número mínimo de estágios necessários.
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Com o Método de McCabe-Thiele,
a) determine a razão de refluxo mínima (
b) determine o número mínimo de estágios necessários.
Passo 1
O enunciado pede, para uma coluna com condensador total e refervedor parcial operando a
bar, usando o Método de McCabe–Thiele:
- (a) a razão de refluxo mínima
necessária para obter e ; - (b) o número mínimo de estágios teóricos necessários (isto é, o número de estágios no caso de refluxo total — o menor número possível de estágios para esta separação).
Informações/valores dados (resumidos, todos mantidos em unidades
e
quando aplicável):
- Correntes de alimentação:
(vapor saturado, para o componente “1”) e (líquido saturado, para o componente “1”). - Total de alimentação:
. - Composição global da alimentação (componente “1”):
. - Objetivos da separação: destilado
, fundo . - Curva de equilíbrio (já fornecida):
- Entalpias (a 1 bar):
No Passo 2 em diante vou explicar passo a passo como determinar
, traçar a q‑line, encontrar o ponto de interseção q‑line × curva de equilíbrio (o “pinch”), calcular a inclinação da reta de enriquecimento que passa por
e pelo ponto de pinch e, daí, obter
. Depois vou estimar o número mínimo de estágios no caso de refluxo total por iterações (método padrão McCabe–Thiele).
Passo 2
Cálculo da entalpia da alimentação combinada e do parâmetro térmico
.
Por que precisamos de
?
- O parâmetro
é a fração molar do fluxo de alimentação que entra como líquido saturado (ou, mais precisamente, a fração do fluxo que precisa ser vaporizada para transformar a alimentação em vapor saturado à pressão de alimentação). Ele define a inclinação e intercepto da q‑line, que é essencial no McCabe–Thiele para posicionar o ponto onde o trecho de enriquecimento conecta-se ao trecho de empobrecimento.
Como calcular
com entalpias:
onde
é a entalpia molar média da alimentação (média ponderada das entalpias das correntes F1 e F2),
e
são as entalpias de líquido e vapor saturados na composição da alimentação
.
Calculemos passo a passo:
Entalpias das correntes individuais (usei os dados do enunciado):
- Para
(vapor, ):
- Para
(líquido, ):
Entalpia média da alimentação:
Entalpias de líquido e vapor saturados na composição da alimentação
.
Primeiro, para precisamos do
de equilíbrio correspondente (usando a curva dada). Calculei:
Primeiro, para
Então:
Agora
:
Interpretação rápida e positiva:
significa que a alimentação é parcialmente vapor (aprox.
em equivalência de liquido), que condiz com termos práticos: misturamos 100 gmol vapor saturado + 100 gmol líquido saturado, mas as entalpias locais definem esse
efetivo.
Passo 3
Equação da q‑line e visualização do que procuramos no McCabe–Thiele.
A q‑line tem a forma (forma usual para traçar em diagrama
vs
):
Substituindo
e
:
Logo a q‑line é aproximadamente
No diagrama
vs
:
- Temos a curva de equilíbrio
dada; - A q‑line dada acima;
- O ponto
.
Para encontrarpelo procedimento gráfico/analítico, localizamos o ponto de interseção entre a q‑line e a curva de equilíbrio que fica acima da alimentação (o “pinch” na porção de enriquecimento). Esse ponto é o ponto onde a operação no mínimo refluxo fica “pinchada”: a reta de enriquecimento que passa por e por esse ponto de interseção é a reta de operação no refluxo mínimo. Assim, a estratégia é:
- Resolver a equação de interseção
para obter
e
.
2. Calcular a inclinação da reta que passa por
e
:
2. Calcular a inclinação
- Como a reta de enriquecimento tem forma
, sua inclinação é . Assim
Passo 4
Determinação numérica do ponto de interseção q‑line × curva de equilíbrio (o “pinch”).
Resolve-se numericamente
. Fiz aproximações numéricas controladas (método de bissecção/interpolação) para encontrar a raiz. Resultados (mostro os valores relevantes):
Testes rápidos mostraram sinal de mudança entre
e
. Afinei a busca e encontrei:
(Verificação: inserindo
em
obtém‑se praticamente o mesmo valor
.)
Explicação curta da técnica: calculei
pela fórmula dada e comparei com
. A raiz desta diferença fornece
. Usei interpolação linear local para convergir ao valor apresentado com precisão adequada para cálculo de
.
Passo 5
Cálculo da inclinação
da reta de enriquecimento que une
a
, e então
.
Inclinação:
Relação entre
e
:
Logo
Arredondando convenientemente, tomo
.
Comentário intuitivo: isso significa que, abaixo de
, a reta de enriquecimento que passa por
e intercepta a q‑line vai “pinchar” com a curva de equilíbrio e não existirá operação estável para a separação desejada.
Passo 6
Cálculo do número mínimo de estágios teóricos (caso de refluxo total).
Definição e método prático: o número mínimo de estágios (denotado frequentemente por
em textos) é obtido no caso de refluxo total (refluxo infinito). No diagrama, a reta de operação de enriquecimento fica
(inclinada 45°). O procedimento numérico-padrão é:
- Partir de
. - Encontrar
tal que . - Repetir:
é o que satisfaz . - Continuar até
. O encontrado é o número mínimo de estágios (cada iteração corresponde a um estágio teórico).
Fiz essa iteração numericamente (resolvendo
valor desejado por interpolação local). Mostro a sequência encontrada (arredondada a 3‑4 casas decimais para clareza):
Neste ponto
já é menor que
. Portanto são necessários 9 passos (9 estágios teóricos) para ir de
até um líquido cujo
fique abaixo de
. Em terminologia de McCabe–Thiele, isto corresponde a
estágios teóricos no caso de refluxo total (este é o menor número de estágios possível para obter a separação desejada).
Observação prática: ao contar estágios em diagramas McCabe–Thiele normalmente cada “degrau” (horizontal + vertical) corresponde a um estágio teórico; a forma como contei com a iteração inversa é equivalente e produz o mesmo
.
Resposta
(a)
\n
(b) Número mínimo de estágios (refluxo total):
(b) Número mínimo de estágios (refluxo total):