A fim de separar a mistura binária (heptano-piridina), em uma coluna de destilação, que contém um condensador total e um refervedor parcial, foram usadas 2 correntes de alimentação com o objetivo de obter no produto de topo 90 \% molar do componente mais volátil e no produto de fundo 5 \% molar. Como o heptano é, na realidade, uma mistura de Copyright © 2024 de Marisa Fernandes Mendes. Proibida a reprodução. Todos os direitos reservados.
Apostila de Exercícios de OP II
Prof. Marisa F. Mendes isômeros, deseja-se ainda um produto lateral para avaliar a presença dos isômeros no mesmo, através de cromatografia.
Vazão molar Composição (ZF) Condição térmica
F1 80 \mathrm{gmol} / \mathrm{min} 0,75 Líquido saturado
F2 100 \mathrm{gmol} / \mathrm{min} 0,40 40 \% vaporizada
S 40 \mathrm{gmol} / \mathrm{min} 0,60 Líquido saturado
Sabendo-se que a RR =1,45 \mathrm{RRmin}, determine, pelo método de McCabe-Thiele, os dados para o projeto da coluna:
a) a razão de refluxo mínima;
b) as razões de refluxo internas de cada seção da coluna;
c) o número de estágios de equilíbrio da coluna;
d) o número de pratos reais da coluna considerando a eficiência global da coluna igual a 75%;
e) a coluna passou por um “revamp” (modificação) e foi alterada de forma que a saída lateral passou por um refervedor intermediário, visando melhorar a eficiência da mesma. Devido a isso e querendo prever se a coluna pode “secar” ou “inundar”, encontre a razão de refluxo interna nessa nova seção.

Passo 1

Vou primeiro organizar direitinho o que o enunciado te deu — assim a gente não se perde depois. Anota aí os dados que temos (todos em unidade molar, como está no enunciado):
  • Duas correntes de alimentação:
    • F_1 = 80\\ \mathrm{gmol/min}, composição z_{F1}=0{,}75 (fração molar do componente mais volátil), condição térmica: líquido saturado \Rightarrow q_{F1}=1.
    • F_2 = 100\\ \mathrm{gmol/min}, composição z_{F2}=0{,}40, condição térmica: 40\% vaporizada \Rightarrow fração líquida q_{F2}=1-0{,}40=0{,}60.
  • Produto lateral (side draw):
    • S = 40\\ \mathrm{gmol/min}, composição x_S=0{,}60, condição térmica: líquido saturado \Rightarrow q_S=1.
  • Produtos finais desejados:
    • Destilado (topo): x_D=0{,}90 (fração molar do componente mais volátil).
    • Fundo (bottoms): x_B=0{,}05.
  • Relação de refluxo dada relativa ao mínimo:
    • R = 1{,}45\;R_{\min} (ou seja, a relação de refluxo real é 1{,}45 vezes a mínima).
  • Observação importante que vem do enunciado: não foi enviada nenhuma curva de equilíbrio vapor–líquido nem valor de volatilidade relativa \alpha.
O enunciado pede (a) a razão de refluxo mínima; (b) as razões de refluxo internas de cada seção da coluna; (c) o número de estágios de equilíbrio; (d) o número de pratos reais considerando eficiência global de 75\%; (e) depois da modificação com um refervedor intermediário na saída lateral, encontrar a razão de refluxo interna nessa nova seção.
Antes de partir para cálculos, duas notas cruciais que influenciam a solução (isso é importante para a escolha do método):
  1. Para aplicar McCabe–Thiele e obter numericamente R_{\min}, número de estágios e posicionamento de linhas operadoras, é necessário ter a curva de equilíbrio y = f(x) ou, alternativamente, um valor ou expressão para a volatilidade relativa \alpha (se a aproximação de \alpha constante for válida). Sem essa informação não é possível traçar a curva de equilíbrio nem encontrar o ponto de tangência que define R_{\min}.
  2. Além disso, para calcular com precisão as razões internas (fluxos líquidos e vapores em cada seção) é necessário saber a posição dos pontos de entrada das correntes F_1 e F_2 e a posição do side-draw S na coluna (ou pelo menos se as alimentações entram acima/abaixo do side draw). O enunciado não indica explicitamente as posições relativas das alimentações e do side-draw. Isso afeta os balanços locais e, portanto, as vazões internas.
Vou, no entanto, avançar com tudo o que podemos calcular com os dados que você deu (passo a passo), explicar a teoria necessária para cada etapa do método McCabe–Thiele e mostrar exatamente o que faltaria para obter os números finais pedidos pelo enunciado.

Passo 2

Primeiro façamos os balanços globais para encontrar D (destilado) e B (fundo), que podemos obter sem saber a curva de equilíbrio (apenas usando balanços de matéria total e do componente mais volátil).
Balanceamento total de vazão:
F_1+F_2 = D + S + B.
Substituindo números:
80 + 100 = D + 40 + B \quad\Rightarrow\quad D + B = 180 - 40 = 140.
Balanceamento do componente mais volátil (chamo de componente A):
F_1 z_{F1} + F_2 z_{F2} = D x_D + S x_S + B x_B.
Substituindo números:
80\cdot 0{,}75 + 100\cdot 0{,}40 = D\cdot 0{,}90 + 40\cdot 0{,}60 + B\cdot 0{,}05.
Cálculo do lado esquerdo:
80\cdot 0{,}75 = 60,\qquad 100\cdot 0{,}40 = 40 \quad\Rightarrow\quad \text{LHS} = 100.
Logo:
100 = 0{,}9\,D + 24 + 0{,}05\,B.
Usando B = 140 - D (da massa total):
100 = 0{,}9D + 24 + 0{,}05(140 - D).
Desenvolvendo:
100 = 0{,}9D + 24 + 7 - 0{,}05D = (0{,}9-0{,}05)D + 31.
100 = 0{,}85D + 31 \quad\Rightarrow\quad 0{,}85D = 69 \quad\Rightarrow\quad D = \frac{69}{0{,}85}.
Calculando:
D \approx 81{,}1764706\\ \mathrm{gmol/min}.
E então
B = 140 - D \approx 140 - 81{,}1764706 = 58{,}8235294\\ \mathrm{gmol/min}.
Esses valores são importantes porque qualquer fluxo interno que a gente calcule (como vazões líquidas e de vapor nas seções) dependerá de D, S e B, e agora temos D e B numéricos.
Resumo numérico que podemos fixar agora:
D \approx 81{,}1765\\ \mathrm{gmol/min},\qquad B \approx 58{,}8235\\ \mathrm{gmol/min}.
Boa! Isso já era um passo sólido — estamos montando o quebra-cabeça.

Passo 3

Agora eu te explico, com calma e de forma prática, como funciona o método de McCabe–Thiele e onde exatamente entra a informação que está faltando (a curva de equilíbrio).
  1. Ideia do McCabe–Thiele (versão curta, intuitiva):
  • A técnica traça, num gráfico y versus x (fração molar no vapor y vs fração molar na fase líquida x), a curva de equilíbrio y = y^*(x) e as linhas operadoras (reta da seção retificadora e reta da seção estripadora). A interseção/encosto dessas retas com a curva de equilíbrio indica o número de pratos teóricos (degrau a degrau) necessário.
  • A reta operadora da seção retificadora tem a forma: y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1},onde R é a razão de refluxo (liquido retornado ao topo por unidade de destilado).
  • A reta operadora da seção estripadora tem a forma: y = \frac{V_s}{V_s - L_s}\,x - \frac{B}{V_s - L_s}\,x_B,que, sob hipótese de overflow molar constante (mesma entalpia molar, aproximação usual), simplifica para uma forma análoga usando vazões molares de vapor e líquido naquela seção. (Na prática, usa-se a conservação de energia implícita na aproximação de overflow constante para assumir que as inclinações são proporcionais a L/V.)
  • O mínimo refluxo R_{\min} aparece quando a linha operadora da seção retificadora fica exatamente tangente à curva de equilíbrio (ou, geometricamente equivalente, quando a operação se reduz a um número de pratos tendendo ao infinito enquanto minimizamos R). Numericamente, para calcular R_{\min} precisamos do ponto de tangência entre a curva de equilíbrio e a q-line (que depende do(s) feed(s)). Por isso a curva de equilíbrio é essencial.
  1. Como se calcula R_{\min} operacionalmente:
  • Traçando a q-line do(s) feed(s) que indica estado térmico do(s) feed(s): para uma alimentação com fração líquida q, a q-line passa pelo ponto (x=z_F,\;y=z_F) com inclinação q/(q-1). Para q=1 (alimentação líquida saturada) a q-line é vertical.
  • O R_{\min} é obtido quando a linha operadora da seção retificadora que passa por (x_D,x_D) (ponto do destilado) e tangencia a curva de equilíbrio está posicionada tal que ela também passa pelo ponto de interseção entre a q-line e a curva de equilíbrio. Em termos práticos: para encontrar R_{\min} numericamente você precisa da curva y^*(x) para localizar esse ponto de tangência e daí obter a inclinação m = \frac{R_{\min}}{R_{\min}+1} e recuperar R_{\min} = m/(1-m).
  • Alternativa numérica (quando se assume \alpha constante): usa-se a expressão analítica de equilíbrio y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha -1)x}e procede-se ao cálculo analítico do ponto de tangência (ou se usa o método de Underwood/Fenske para obter R_{\min} e número mínimo de pratos). Mas atenção: precisa do valor de \alpha.
  1. Por que a curva de equilíbrio (ou \alpha) é indispensável?
  • Sem ela não dá para localizar o ponto de tangência entre a linha operadora e o equilíbrio.
  • Sem o ponto de tangência não dá para calcular R_{\min}.
  • Sem R_{\min} também não dá para obter o valor numérico de R = 1{,}45\,R_{\min} (a relação real de refluxo dada no enunciado depende do R_{\min}).
Conclusão desta parte: para responder numericamente (a) e (c) é obrigatório ter a curva de equilíbrio y^*(x) ou \alpha constante. Sem isso, temos que ficar na explicação do método e em fórmulas gerais.

Passo 4

Explico agora, passo a passo prático, como você resolveria cada item do enunciado assim que tiver a curva de equilíbrio (ou o valor de \alpha) e a posição das alimentações/side-draw:
a) Para obter R_{\min}:
  • Desenhe a curva de equilíbrio y^*(x) no gráfico.
  • Trace as q-lines para cada alimentação na posição correta (vertical para q=1, inclinação q/(q-1) para q\neq 1).
  • Localize a interseção relevante entre a q-line (ou combinação, no caso de múltiplas alimentações) e a curva de equilíbrio; desenhe a reta que passa por (x_D,x_D) e que é tangente à curva de equilíbrio naquele ponto de interseção. A inclinação dessa reta é m = R_{\min}/(R_{\min}+1). Então calcule R_{\min} = m/(1-m).
  • Alternativa analítica: usando \alpha constante, resolve-se a condição de tangência (igualar derivadas) entre a reta que liga (x_D,x_D) e a curva de equilíbrio para obter R_{\min}.
b) Para as razões de refluxo internas de cada seção (isto é, para obter L/V ou vazões líquidas e de vapor em cada seção):
  • Primeiro calcule R (quando souber R_{\min}): R = 1{,}45\,R_{\min}. Então o refluxo líquido que volta ao topo é L_0 = R\cdot D.
  • A vazão de vapor no topo (logo acima do primeiro prato) sob a hipótese de overflow constante é V_1 = L_0 + D = (R+1)D.
  • Em colunas com alimentações e saídas laterais, as vazões líquidas e de vapor mudam de seção para seção. Faz-se balanços molares entre pontos de entrada/saída para determinar L e V em cada tramo. Por exemplo, entre topo e o ponto onde entra F_1 (se F_1 entrar aí) o balanço de massa total determina a diferença entre V e L naquela porção. Procedimento prático:
    • Identifique as seções e onde cada alimentação e o side-draw entram/saem.
    • Escreva balanços de matéria total e do componente entre pontos de interesse (p. ex., entre o topo e o ponto de entrada de F_1; entre F_1 e F_2; entre o ponto onde tira S e o fundo).
    • Com esses balanços determine L e V em cada seção. A razão interna em uma seção é então L/V naquela seção.
  • Observação: sem saber as posições relativas de F_1, F_2 e S, não dá para fechar esses balanços localmente e, portanto, não dá para calcular numericamente L/V em cada seção.
c) Para o número de estágios teóricos (McCabe–Thiele):
  • Uma vez traçadas a curva de equilíbrio e as linhas operadoras (retificadora com R e estripadora obtida por balanços), aplica-se o passo-a-passo gráfico: começa-se em x=x_D sobe-se verticalmente até a curva de equilíbrio, depois horizontal até a linha operadora, e assim sucessivamente até atingir x_B. O número de “passos” é o número de pratos teóricos.
  • Alternativa analítica: se \alpha é constante e se aplicam as condições Fenske–Underwood–Gilliland, é possível estimar número de pratos mínimo e então usar correlações (Gilliland) para achar número de pratos para dado R. Mas tudo isso requer \alpha ou a curva de equilíbrio.
d) Para pratos reais com eficiência global 75\%:
  • Se N_t é o número de pratos teóricos, o número de pratos reais N_r é N_r = \frac{N_t}{\eta_{\text{global}}},onde \eta_{\text{global}}=0{,}75. Logo N_r = N_t / 0{,}75. Mas precisamos de N_t do item (c).
e) E para o caso com refervedor intermediário no side-draw:
  • Se o side-draw passa por um refervedor intermediário, a seção abaixo do side-draw pode funcionar com balanços de vapor e líquido diferentes — ou seja, o fluxo de vapor que sai do refervedor pode aumentar e/ou o líquido retornado para baixo pode mudar. Para determinar a nova razão interna nessa seção (por exemplo L/V na seção entre side-draw e fundo) você precisa:
    • saber como o refervedor intermediário altera as vazões (quanto vapor é gerado no refervedor inter. e se ele envia vapor para cima/apenas para cima),
    • e então fazer os balanços locais para achar L e V naquela seção.
  • Sem a descrição do comportamento do novo refervedor (se é parcial, total, qual a força de vaporização) não é possível fornecer numericamente a razão interna.

Passo 5

Agora eu escrevo claramente as fórmulas e passos práticos que você deve executar caso você consiga (a) a curva de equilíbrio y^*(x) ou o valor de \alpha e (b) a posição das alimentações e do side-draw. Assim você já sabe exatamente o que fazer na prova:
  1. Calcular D e B (já fizemos):
    D \approx 81{,}1765\\ \mathrm{gmol/min},\qquad B \approx 58{,}8235\\ \mathrm{gmol/min}.
  2. Obter R_{\min}:
    • Desenhar \;y^*(x)\; e as q-lines no gráfico.
    • Encontrar o ponto de tangência (x_t,y_t) entre a curva de equilíbrio e a reta que passa por (x_D,x_D).
    • A inclinação desta reta é m=\dfrac{R_{\min}}{R_{\min}+1}. Então R_{\min} = \frac{m}{1-m}.
    • Alternativamente, com \alpha constante: igualar derivadas (condição de tangência) e resolver analiticamente para R_{\min}.
  3. Obter R real:
    R = 1{,}45\;R_{\min}.
  4. Fluxos no topo (hipótese de overflow):
    L_0 = R\cdot D,\qquad V_1 = L_0 + D = (R+1)D.
  5. Para cada seção entre pontos onde entram/saem correntes (por exemplo entre topo e entrada de F_1; entre F_1 e F_2; entre F_2 e o side-draw; abaixo do side-draw até o fundo) escreva balanços de massa total:
    • Ex.: balanço total numa seção qualquer entre dois pontos a e b: \sum \text{entradas} = \sum \text{saídas}íque permitirá encontrar circuito de L e V naquela seção.
    • E balanço do componente: permitirá checar/ajustar as composições e localizar onde ocorrem trocas de fluxo.
  6. Número de pratos teóricos (McCabe–Thiele gráfico):
    • Com as linhas operadoras desenhadas (usando R e os L,V obtidos dos balanços locais), conta-se os degraus até o x_B. Esse número é N_t.
  7. Número de pratos reais:
    N_r = \frac{N_t}{0{,}75}.
  8. No caso do refervedor intermediário no side-draw:
    • Determine quanto vapor o refervedor gera e sua direção (para cima/para baixo).
    • Refaça os balanços locais da seção entre side-draw e fundo para obter L e V e então calcule L/V nessa seção.
Esses são os passos exatos que você faria na prova — gráfico McCabe–Thiele acompanhado de balanços locais. Se você me der a curva de equilíbrio (ou o valor de \alpha constante aceitável) e me disser onde entram F_1 e F_2 (acima/entre/abaixo do side-draw), eu executo os passos numéricos completos para você.

Passo 6

Recap importante e incentivo: eu já calculei D e B por balanços globais (isso é ótimo; um troço já tirado da frente). O que falta para fechar tudo numericamente são:
  • a curva de equilíbrio vapor–líquido y^*(x) (ou um valor de \alpha aceitável), e
  • a posição (localização) de F_1 e F_2 na coluna em relação ao side-draw S, e no caso (e) as condições operacionais do refervedor intermediário (quanto vapor ele gera e em quais direções envia esse vapor).
Se você tiver esses dados, me manda e eu já faço o traçado McCabe–Thiele completo, o cálculo de R_{\min}, o número de pratos teóricos e reais, e as razões internas específicas — tudo passo a passo como você pediu.

Resposta

(a) Não é possível determinar numericamente a razão de refluxo mínima R_{\min} porque falta a curva de equilíbrio vapor–líquido y^*(x) (ou o valor da volatilidade relativa \alpha).\n
(b) Não é possível fornecer numericamen­te as razões de refluxo internas de cada seção porque, além do R_{\min} (e portanto de R), também falta a informação da posição das alimentações F_1 e F_2 e do side-draw S na coluna; essas posições são necessárias para os balanços locais que determinam L e V em cada seção.\n
(c) Não é possível determinar numericamente o número de estágios de equilíbrio N_t sem a curva de equilíbrio y^*(x) (ou \alpha), pois o procedimento McCabe–Thiele requer essa curva para traçar os degraus.\n
(d) Não é possível determinar numericamente o número de pratos reais N_r sem conhecer N_t. Sabendo N_t, o número de pratos reais seria N_r = N_t/0{,}75.\n
(e) Não é possível calcular numericamente a nova razão de refluxo interna na seção com refervedor intermediário sem especificar como o refervedor intermediário modifica os fluxos (quantidade de vapor gerado e direção) e sem o R_{\min} (ou a curva de equilíbrio).\n
Observação útil e já calculada: por balanços globais com os dados que você deu, obtivemos
D \approx 81{,}1765\\ \mathrm{gmol/min},\qquad B \approx 58{,}8235\\ \mathrm{gmol/min},
o que será usado nos cálculos internos assim que tivermos a curva de equilíbrio ( y^*(x) ou \alpha) e a posição das alimentações.

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