O equipamento de destilação em batelada composto de um tanque de vaporização, uma coluna de 02 pratos, condensador total com refluxo líquido saturado operando a 1 atm deve separar uma solução aquosa de metanol. A coluna opera com variação da razão de refluxo e xD é mantido constante igual a 85 \% molar de metanol. A carga inicial é igual a 10 kgmoles com 40 \% molar de metanol. Desejando uma concentração final de metanol no vaporizador de 8 \% molar, determine:
a) A razão de refluxo externa inicial que deve ser usada;
b) A razão de refluxo externa final do processo e
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Vou listar tudo com calma para ficarmos alinhados.
Dados do problema:
A mistura binária é metanol + água.
Pressão de operação: 1\\ \text{atm}.
Coluna: coluna de destilação com condensador total e refluxo líquido saturado.
Número de pratos efetivos (teóricos) da coluna: 2 (foi informado “coluna de 02 pratos”).
Composição do destilado mantida constante: \displaystyle x_D = 85\% mol de metanol, isto é \displaystyle x_D = 0{,}85.
Carga inicial no vaporizador (reboiler): 10\\ \text{kmoles} com \displaystyle 40\% mol metanol, ou seja \displaystyle x_{W,0} = 0{,}40.
Deseja-se alcançar concentração final de metanol no vaporizador: \displaystyle x_{W,f} = 8\% mol, ou seja \displaystyle x_{W,f} = 0{,}08.
A razão de refluxo externa R (refluxo/produzido) varia ao longo do processo; pede-se:
a) a razão de refluxo externa inicial a ser usada (quando o reboiler tem \displaystyle x=0{,}40);
b) a razão de refluxo externa final do processo (quando o reboiler atinge \displaystyle x=0{,}08).
Observação importante: o enunciado não forneceu a curva de equilíbrio vapor‑líquido y = y^{eq}(x) para metanol‑água a 1\\ \text{atm} nem uma volatilidade relativa \alpha constante. Esses dados de equilíbrio são necessários para calcular numericamente as razões de refluxo pedidas.
Passo 2
O que é a razão de refluxo externa e qual equação controla a linha de operação do trecho de retificação (parte superior)?
Explicando bem devagar e com jeitinho de amigo: a razão de refluxo externa R é a razão entre a vazão do refluxo que retorna da cabeça para a coluna e a vazão do destilado retirado:
R = \frac{L_0}{D},
onde L_0 é a vazão de líquido que volta como refluxo e D é a vazão de produto (distillate). Para um condensador total que fornece refluxo líquido saturado, a linha de operação do trecho de retificação (reta no diagrama de McCabe‑Thiele) é dada por:
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
Nesta fórmula:
x é a fração molar de metanol na fase líquida (na coluna, em cada bandeja),
y é a fração molar de metanol na fase vapor em equilíbrio com esse líquido,
x_D é a composição do destilado (dada: 0{,}85),
R é a razão de refluxo externa que queremos achar.
Essa reta relaciona o par (x,y) no trecho de retificação. A curva de equilíbrio y = y^{eq}(x) (vapor em equilíbrio com o líquido) é a outra curva no diagrama McCabe‑Thiele. A interseção sucessiva da reta de operação com a curva de equilíbrio determina o número de estágios teóricos possíveis com aquele refluxo.
Passo 3
Por que eu preciso da curva de equilíbrio (ou de \alpha) para calcular R? O que ela representa?
A curva de equilíbrio y^{eq}(x) descreve, para cada composição líquida x, qual é a composição do vapor y em equilíbrio a 1 atm. Sem essa curva não sabemos onde “pular” horizontalmente (equilíbrio) e onde “subir” pela linha de operação ao fazer os passos de McCabe‑Thiele. Portanto é impossível, numericamente, estabelecer quantos estágios teóricos resultam de uma certa razão R, ou qual R gera exatamente N=2 estágios entre x_D e uma dada composição no reboiler.
Existem duas formas práticas de ter esses dados:
Uma tabela/curva y^{eq}(x) experimental para metanol‑água a 1\\ \text{atm}.
Uma aproximação de volatilidade relativa constante \alpha, que fornece uma forma analítica aproximada:
y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha-1)x}.
Se \alpha for conhecida (ou assumida), podemos usar essa expressão como equilíbrio aproximado e fazer cálculos numéricos.
Sem qualquer uma dessas informações numéricas, não há como obter os valores numéricos de R.
Passo 4
Como eu procederia, passo a passo, para calcular numericamente a razão de refluxo inicial (quando x_{W}=0{,}40) se eu tivesse a curva de equilíbrio ou \alpha. Vou detalhar o procedimento que eu usaria na prova, incluindo fórmulas e um método manual/numérico (sem pular etapas).
Escrever a linha de operação do retificador:
y = m x + b,\qquad m=\frac{R}{R+1},\quad b=\frac{x_D}{R+1}.
Conhecido x_D, escolher um chute para R. Com esse R você conhece m e b.
Fazer o passo‑a‑passo de McCabe‑Thiele começando do topo:
No topo temos y_0 = x_D.
Traçar horizontal até encontrar a curva de equilíbrio: isto fornece x_1 tal que y^{eq}(x_1)=y_0.
Traçar vertical da abscissa x_1 até a linha de operação: isto dá y_1 = m x_1 + b.
Repetir: encontre x_2 tal que y^{eq}(x_2)=y_1, depois y_2 na linha de operação, e assim por diante.
Cada par (horizontal equilibrando, vertical pela linha de operação) conta como um estágio teórico. Continue até que o x_n alcançado seja igual (ou muito próximo) da composição do reboiler desejada. Para o cálculo da razão inicial, você quer que com N=2 estágios o primeiro x_n alcançado seja x_{W,0}=0{,}40.
Se o número de estágios atingidos for maior que 2, aumente R (linha de operação mais plana) e repita; se for menor que 2, diminua R. Isso é um processo de busca (trial‑and‑error) que pode ser feito por iterações manuais ou por pequeno código.
Observação sobre contagem de estágios: é importante esclarecer como o problema conta “2 pratos”. Em McCabe‑Thiele a contagem de estágios pode ou não incluir o calandrista/reboiler. Normalmente, o número de estágios teóricos do retificador é contado entre o topo e o ponto de alimentação/reboiler; assegure‑se da convenção usada no seu curso. No procedimento acima assumimos que os dois estágios estão disponíveis no trecho de retificação conforme o enunciado.
Passo 5
Como eu faria para calcular a razão de refluxo final (quando x_{W}=0{,}08)?
É o mesmo procedimento do Passo 4, mas agora o objetivo é que com o mesmo número de estágios (ou conforme a convenção) a última composição de liquido alcançada pelos “N passos” seja x_{W,f}=0{,}08. Ou seja:
Para cada chute de R, executar os passos de McCabe‑Thiele e ver qual x_n se obtém após N=2 estágios; ajustar R até que x_n \approx 0{,}08.
Novamente: sem a curva de equilíbrio y^{eq}(x) ou \alpha, não há cálculo numérico possível.
Passo 6
Apresento fórmulas e opções alternativas que costumam aparecer em exames — para você entender melhor o que o professor pode querer:
Linha de operação do retificador (já citada):
y=\frac{R}{R+1}x+\frac{x_D}{R+1}.
Em regime de refluxo mínimo R_{min} a linha de operação encosta (faz “pinch”) na curva de equilíbrio. Para achar R_{min} é necessário resolver:
onde x^* é o ponto de contato. Isso exige y^{eq}(x).
Relação de Gilliland (correlação empírica) e as equações de Fenske‑Underwood‑Gilliland são usadas para projetar colunas contínuas (conversões entre R, N e R_{min}), mas também às vezes aplicam para etapas teóricas em aproximação. Entretanto, mesmo para usar Gilliland precisa‑se de R_{min}, que depende da curva de equilíbrio.
Passo 7
Exemplo ilustrativo (sem pretensão de ser o seu caso, só para você pegar o feeling — não substitui dados reais):
Se tivéssemos a hipótese (apenas hipotética!) de volatilidade relativa constante \alpha = 2{,}0, então poderíamos tomar
e aplicar o algoritmo do Passo 4 numericamente (ou fazer 2 passos de McCabe‑Thiele com tentativa e erro em R) até obter x_{W}=0{,}40 (para R inicial) e x_{W}=0{,}08 (para R final). Mas reforço: esse \alpha=2{,}0 é só um exemplo didático — não é o valor real para metanol/água a 1\\ \text{atm}. Se você fizer isso na prova com um valor inventado, o resultado será incorreto.
Passo 8
Resumo final do procedimento que você deve seguir na prova (passo a passo prático):
Obtenha a curva y^{eq}(x) de metanol‑água a 1\\ \text{atm} (tabela ou equação), ou a volatilidade relativa \alpha.
Escreva a linha de operação y=\dfrac{R}{R+1}x+\dfrac{x_D}{R+1} com x_D=0{,}85.
Faça McCabe‑Thiele partindo de y=x_D e conte os estágios até alcançar x_{W,0}=0{,}40. Ajuste R até que o número de estágios utilizado corresponda à configuração real da coluna (2 pratos conforme convenção usada).
Repita para x_{W,f}=0{,}08 para obter R final.
Se preferir, resolva numericamente com um pequeno programa que itere R até que após N=2 estágios o x desejado seja atingido — isso é mais rápido e robusto.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a razão de refluxo externa inicial e final porque o enunciado não forneceu os dados de equilíbrio vapor‑líquido y^{eq}(x) para metanol‑água a 1\\ \text{atm} nem uma volatilidade relativa (\alpha). Com esses dados (ou uma tabela de equilíbrio) eu executo o procedimento McCabe‑Thiele descrito acima e retorno os valores numéricos de R inicial e R final.