100 \mathrm{~mol} / \mathrm{s} de uma mistura equimolar de metano (\mathrm{CH} 4) e etano (\mathrm{C} 2 \mathrm{H} 6) são alimentados a um reator com excesso de oxigênio onde ocorre a combustão. A conversāo de passagem única do metano é de 85 % e a conversão de passagem única do etano é de 70 %. O gás do produto, que é 30 % molar de O 2 , é enviado para um separador onde todos os produtos da reação e 20% do metano e etano saem. O metano e etano restantes formam uma corrente de reciclo. 95 mol de CO2 são produzidos para cada 5 mol de CO produzido.
b) Encontre a porcentagem de excesso de oxigênio na alimentação do reator.

Passo 1

Enunciado resumido e dados importantes (apenas o que o problema dá e pede):
  • Alimentação fresca: 100\\ \mathrm{mol/s} de mistura equimolar de metano e etano. Logo: \dot{n}_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{fresh}}=50\\ \mathrm{mol/s},\qquad \dot{n}_{\mathrm{C_2H_6},\mathrm{fresh}}=50\\ \mathrm{mol/s}.
  • Conversões de passagem única no reator: X_{\mathrm{CH}_4}=85\%=0{,}85,\qquad X_{\mathrm{C_2H_6}}=70\%=0{,}70.
  • O gás de saída do reator (corrente de produto) é 30\% molar de \mathrm{O}_2 (ou seja, fração molar de \mathrm{O}_2 na saída é 0{,}30).
  • Esse gás vai a um separador onde: todos os produtos da reação (CO2, CO, H2O, etc.) saem; além disso, 20\% do metano e 20\% do etano presentes na saída são removidos (purge). Os 80\% restantes do metano/etano voltam como corrente de reciclo para o reator.
  • Relação entre \mathrm{CO}_2 e \mathrm{CO}: para cada 95 mol de \mathrm{CO}_2 produzido, são produzidos 5 mol de \mathrm{CO}. Ou seja, razão \mathrm{CO}_2:\mathrm{CO}=95:5 (portanto 95\% dos carbonos formam \mathrm{CO}_2 e 5\% formam \mathrm{CO}, em termos de mols).
  • O que se pede: encontrar a porcentagem de excesso de oxigênio na alimentação do reator (ou seja, quanto a alimentação de \mathrm{O}_2 excede o necessário estoiquiométrico para as reações que ocorrem).

Passo 2

Determinar as correntes que entram no reator de \mathrm{CH}_4 e \mathrm{C_2H_6} levando em conta reciclo e purge.
Explicação do raciocínio: a corrente que entra no reator ( \dot{n}_{\mathrm{in}}) é a soma da alimentação fresca com a parcela reciclada. A parcela reciclada é 80\% do que saiu não reagido do reator (porque 20\% é purgado). Se chamarmos \dot{N}_{\mathrm{CH}_4} a corrente de \mathrm{CH}_4 que entra no reator (estado estacionário), temos a relação:
\dot{N}_{\mathrm{CH}_4} = \dot{n}_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{fresh}} + 0{,}8 \times (\text{CH}_4\\ \text{não reagido saindo do reator}).ã
O não reagido que sai do reator é (1-X_{\mathrm{CH}_4})\dot{N}_{\mathrm{CH}_4}. Logo:
\dot{N}_{\mathrm{CH}_4} = 50 + 0{,}8\cdot(1-0{,}85)\dot{N}_{\mathrm{CH}_4} = 50 + 0{,}8\cdot 0{,}15\cdot \dot{N}_{\mathrm{CH}_4}.
Isolando \dot{N}_{\mathrm{CH}_4}:
\dot{N}_{\mathrm{CH}_4}\big(1-0{,}8\cdot0{,}15\big)=50 \quad\Rightarrow\quad \dot{N}_{\mathrm{CH}_4}(1-0{,}12)=50 \quad\Rightarrow\quad \dot{N}_{\mathrm{CH}_4}= \frac{50}{0{,}88}.
Cálculo:
\dot{N}_{\mathrm{CH}_4} = \frac{50}{0{,}88}=56{,}81818181818182\\ \mathrm{mol/s}.
Mesma ideia para \mathrm{C_2H_6}:
\dot{N}_{\mathrm{C_2H_6}} = 50 + 0{,}8\cdot(1-0{,}70)\dot{N}_{\mathrm{C_2H_6}} =50 + 0{,}8\cdot0{,}30\dot{N}_{\mathrm{C_2H_6}},
\dot{N}_{\mathrm{C_2H_6}}(1-0{,}24)=50 \quad\Rightarrow\quad \dot{N}_{\mathrm{C_2H_6}}=\frac{50}{0{,}76}=65{,}78947368421052\\ \mathrm{mol/s}.
Resumo:
\dot{N}_{\mathrm{CH}_4}=56{,}818181818\\ \mathrm{mol/s},\qquad \dot{N}_{\mathrm{C_2H_6}}=65{,}789473684\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 3

Calcular quantidades convertidas (mols reagidos por segundo) no reator.
Definição: a quantidade convertida de cada espécie é X vezes a entrada dessa espécie no reator.
Para \mathrm{CH}_4:
\dot{n}_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{conv}} = X_{\mathrm{CH}_4}\,\dot{N}_{\mathrm{CH}_4} =0{,}85\times56{,}818181818=48{,}295454545\\ \mathrm{mol/s}.
Para \mathrm{C_2H_6}:
\dot{n}_{\mathrm{C_2H_6},\mathrm{conv}} =0{,}70\times65{,}789473684=46{,}052631579\\ \mathrm{mol/s}.
Também vale anotar os não reagidos (saem do reator):
\dot{n}_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{unreact}}=(1-0{,}85)\dot{N}_{\mathrm{CH}_4}=0{,}15\times56{,}81818=8{,}522727273\\ \mathrm{mol/s},
\dot{n}_{\mathrm{C_2H_6},\mathrm{unreact}}=0{,}30\times65{,}78947=19{,}736842105\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 4

Distribuição entre \mathrm{CO}_2 e \mathrm{CO} usando a razão dada.
Explicação: cada mol de \mathrm{CO}_2 e \mathrm{CO} contém 1 átomo de C. Portanto podemos somar todos os carbonos convertidos e dividir entre \mathrm{CO}_2 e \mathrm{CO} segundo 95:5.
Total de carbonos convertidos (mol C/s) =
\dot{C}_{\mathrm{conv}} = 1\cdot\dot{n}_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{conv}} + 2\cdot\dot{n}_{\mathrm{C_2H_6},\mathrm{conv}}.
Calculando:
\dot{C}_{\mathrm{conv}} = 48{,}295454545 + 2\times46{,}052631579 =48{,}295454545 +92{,}105263158=140{,}400717703\\ \mathrm{mol\\ C/s}.
\mathrm{CO}_2 (95%) e \mathrm{CO} (5%):
\dot{n}_{\mathrm{CO}_2}=0{,}95\times140{,}400717703=133{,}380681818\\ \mathrm{mol/s},
\dot{n}_{\mathrm{CO}}=0{,}05\times140{,}400717703=7{,}020035885\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 5

Calcular a quantidade de \mathrm{H_2O} formada (a partir do hidrogênio dos hidrocarbonetos).
Explicação: todo hidrogênio dos hidrocarbonetos convertidos vai para água. Cada mol de \mathrm{CH}_4 tem 4 H e cada mol de \mathrm{C_2H_6} tem 6 H. Cada mol de \mathrm{H_2O} contém 2 H, logo
\dot{n}_{\mathrm{H_2O}}=\frac{4\dot{n}_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{conv}}+6\dot{n}_{\mathrm{C_2H_6},\mathrm{conv}}}{2} =2\dot{n}_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{conv}}+3\dot{n}_{\mathrm{C_2H_6},\mathrm{conv}}.
Cálculo:
\dot{n}_{\mathrm{H_2O}}=2\times48{,}295454545+3\times46{,}052631579 =96{,}59090909+138{,}157894737=234{,}748803827\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 6

Calcular o consumo de \mathrm{O}_2 no reator (estoquiométrico para os produtos formados).
Explicação das estequiometrias relevantes em termos de consumo de \mathrm{O}_2:
  • \mathrm{CO}_2 contém 2 átomos de O ⇒ 1 mol de \mathrm{CO}_2 requer 1 mol de \mathrm{O}_2.
  • \mathrm{CO} contém 1 átomo de O ⇒ 1 mol de \mathrm{CO} requer 0{,}5 mol de \mathrm{O}_2.
  • \mathrm{H_2O} contém 1 átomo de O ⇒ 1 mol de \mathrm{H_2O} requer 0{,}5 mol de \mathrm{O}_2.
Logo o consumo total de \mathrm{O}_2 é:
\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{cons}}=\dot{n}_{\mathrm{CO}_2}\cdot1+\dot{n}_{\mathrm{CO}}\cdot0{,}5+\dot{n}_{\mathrm{H_2O}}\cdot0{,}5.
Substituindo números:
\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{cons}}=133{,}380681818 + 0{,}5\times7{,}020035885 + 0{,}5\times234{,}748803827.
Calcule passo a passo:
0{,}5\times7{,}020035885=3{,}5100179425, \quad 0{,}5\times234{,}748803827=117{,}3744019135.
Somando:
\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{cons}}=133{,}380681818 + 3{,}5100179425 + 117{,}3744019135 =254{,}265101674\\ \mathrm{mol/s}.
(Arredondando: \dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{cons}}\approx254{,}2651\\ \mathrm{mol/s}.)

Passo 7

Relacionar a fração molar de \mathrm{O}_2 na saída do reator (dado: 30\%) com as correntes conhecidas para determinar quanto \mathrm{O}_2 ficou sem reagir.
Explicação: a saída do reator contém as espécies não reagidas e os produtos. A fração molar de \mathrm{O}_2 na saída é:
y_{\mathrm{O}_2}=\frac{\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}}{\dot{N}_{\mathrm{tot,exit}}},
onde \dot{N}_{\mathrm{tot,exit}} é a soma de todas as mols na saída do reator. Temos
\dot{N}_{\mathrm{tot,exit}}=\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}} + \dot{n}_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{unreact}}+\dot{n}_{\mathrm{C_2H_6},\mathrm{unreact}}+\dot{n}_{\mathrm{CO}_2}+\dot{n}_{\mathrm{CO}}+\dot{n}_{\mathrm{H_2O}}.
Denotando a soma de todas as correntes conhecidas (exceto \dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}) por S:
S=\dot{n}_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{unreact}}+\dot{n}_{\mathrm{C_2H_6},\mathrm{unreact}}+\dot{n}_{\mathrm{CO}_2}+\dot{n}_{\mathrm{CO}}+\dot{n}_{\mathrm{H_2O}}.
Calculamos S usando valores dos passos anteriores:
S=8{,}522727273 + 19{,}736842105 + 133{,}380681818 + 7{,}020035885 + 234{,}748803827 =403{,}409090909\\ \mathrm{mol/s}.
Dado y_{\mathrm{O}_2}=0{,}30, temos
\frac{\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}}{\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}+S}=0{,}30.
Isolando \dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}:
\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}=0{,}3\big(\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}+S\big)
\Rightarrow\\\ 0{,}7\,\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}=0{,}3\,S \quad\Rightarrow\quad \dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}=\frac{0{,}3}{0{,}7}S=\frac{3}{7}S.
Cálculo numérico:
\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}=\frac{3}{7}\times403{,}409090909=172{,}8896103896\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 8

Determinar a alimentação total de \mathrm{O}_2 ao reator ( \dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{in}}).
Relação simples:
\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{in}}=\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{cons}}+\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{unreact}}.
Substituindo valores:
\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{in}}=254{,}265101674 + 172{,}8896103896 =427{,}1547120636\\ \mathrm{mol/s}.
(Arredondando: \dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{in}}\approx427{,}1547\\ \mathrm{mol/s}.)
Interpretation note (didática): esse valor é a quantidade de \mathrm{O}_2 que realmente entra no reator por segundo; parte é consumida nas reações (estoquiométrico) e parte sai como excesso (não reagido) representado pela fração molar 30\%.

Passo 9

Calcular a porcentagem de excesso de oxigênio na alimentação do reator.
Definição utilizada: porcentagem de excesso de \mathrm{O}_2 é a fração do \mathrm{O}_2 fornecido que excede o necessário estequiométrico para as reações que ocorreram, ou matematicamente:
\%\\ \text{excesso}=\frac{\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{in}}-\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{cons}}}{\dot{n}_{\mathrm{O}_2,\mathrm{cons}}}\times100\%.
Substituindo:
\%\\ \text{excesso}=\frac{427{,}1547120636-254{,}265101674}{254{,}265101674}\times100\%.
Cálculo:
\%\\ \text{excesso}=\frac{172{,}8896103896}{254{,}265101674}\times100\%=0{,}68\times100\%=68{,}0\%.
Conclusão interpretativa rápida: a alimentação de \mathrm{O}_2 ao reator é 68{,}0\% maior do que a quantidade estoiquiométrica necessária para oxidar as correntes que efetivamente reagiram (o excesso aparece como \mathrm{O}_2 não reagido, que é 30\% em mol na saída).

Resposta

68{,}0\%

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