De 100 pessoas participantes de um grande evento, selecionadas aleatoriamente, 60 disseram estar satisfeitas com o atendimento recebido.Os organizadores desse evento afirmam que a proporção de pessoas satisfeitas foi superior a 70%. Com um nível de confiança de 95 % é possível contestar a informação dos organizadores?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que de 100 pessoas, 60 ficaram satisfeitas (então a proporção amostral é hat p = 0,6). Os organizadores afirmam que a verdadeira proporção de satisfação p é maior que 0,7. Queremos saber, com 95 % de confiança, se dá para contestar isso.
Conteúdo: teste de hipótese para proporção, usando a aproximação normal. Vamos precisar montar hipóteses, calcular estatística z e comparar com o valor crítico.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
H₀: p = 0,7
H₁: p < 0,7 (porque queremos mostrar que não é maior do que 0,7)
Nível de significância alpha = 0,05 (equivalente a 95 % de confiança).

Passo 3

Teoria: para amostras grandes (aqui n=100), a distribuição de hat p é aproximada por normal com média p0 e variância p0(1-p0)/n. A estatística de teste é
z ;=; hat p - p0raizdfracp0(1-p0)n,,
onde p0=0,7 é a proporção sob H₀.

Passo 4

Calculando:
hat p = 0,6,
raiz0,7,(1-0,7)100 = raiz0,7cdot0,3100 = 0,0458,,
z = 0,6 - 0,70,0458 = -0,10,0458 approx -2,183,

Passo 5

Valor crítico: para teste unilateral à esquerda com alpha=0,05, zcrit = -1,645.
Como z = -2,183 < -1,645, caímos na região de rejeição de H₀.
(O p-valor também dá approx 0,0145, menor que 0,05.)

Resposta

Sim, com 95 % de confiança podemos contestar a afirmação dos organizadores, pois o teste indicou z < zcrit (ou p-valor < 0,05), rejeitando a hipótese de que p>=0,7.

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