(100 Pontos)
e) Seja a trajetória de uma partícula em movimento definida como uma função do tempo
pelo vetor de posição
. Calcule a velocidade e a aceleração num ponto qualquer dessa trajetória e determine os componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
e) Seja a trajetória de uma partícula em movimento definida como uma função do tempo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja trajetória é definida pela função vetorial
. O que precisamos fazer aqui é calcular a velocidade e a aceleração dessa partícula em qualquer ponto da trajetória e, depois, determinar os componentes tangencial e normal do vetor aceleração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e decomposição de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de
:
Passo 4
Agora que temos a velocidade
e a aceleração
, vamos decompor o vetor aceleração em componentes tangencial e normal. A componente tangencial (
) está na direção da velocidade, e a normal (
) é perpendicular a ela.
Primeiro, encontramos o módulo da velocidade:
Passo 5
A componente tangencial
é dada pela derivada do módulo da velocidade:
Então, não há variação na velocidade, apenas mudança na direção.
Passo 6
A componente normal
é encontrada usando a seguinte relação:
Como
, temos:
Resposta
A velocidade da partícula é
, a aceleração é
. Os componentes da aceleração são
e
.