(100 Pontos)
e) Seja a trajetória de uma partícula em movimento definida como uma função do tempo t pelo vetor de posição r(t)=(sen t) i+t j+(cos t) k. Calcule a velocidade e a aceleração num ponto qualquer dessa trajetória e determine os componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja trajetória é definida pela função vetorial . O que precisamos fazer aqui é calcular a velocidade e a aceleração dessa partícula em qualquer ponto da trajetória e, depois, determinar os componentes tangencial e normal do vetor aceleração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e decomposição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de v(t) = dr(t)dt = ddt[sin t , i + t , j + cos t , k] = cos t , i + 1 , j - sin t , k em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de a(t) = dv(t)dt = ddt[cos t , i + 1 , j - sin t , k] = -sin t , i + 0 , j - cos t , k :

Passo 4

Agora que temos a velocidade |v(t)| = raiz(cos t)^2 + (1)^2 + (-sin t)^2 = raizcos^2 t + 1 + sin^2 t = raiz1 + 1 = raiz2 e a aceleração , vamos decompor o vetor aceleração em componentes tangencial e normal. A componente tangencial ( ) está na direção da velocidade, e a normal ( ) é perpendicular a ela.
Primeiro, encontramos o módulo da velocidade:

Passo 5

A componente tangencial aT = d|v(t)|dt = ddt(raiz2) = 0 é dada pela derivada do módulo da velocidade:
Então, não há variação na velocidade, apenas mudança na direção.

Passo 6

A componente normal aN = |a(t) - aT T||v(t)| é encontrada usando a seguinte relação:
aN = |a(t)||v(t)| = raiz(-sin t)^2 + 0^2 + (-cos t)^2raiz2 = raizsin^2 t + cos^2 traiz2 = 1raiz2
Como , temos:

Resposta

A velocidade da partícula é , a aceleração é . Os componentes da aceleração são e .

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