Considere as quádricas Q e os planos pi dados abaixo. Determine a seção plana Q cap pi. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos.
Q: x^2+y^2-z^24=1 e pi: y=0.

Passo 1

Enunciado: temos a quádrica Q:x^2+y^2-tfracz^24=1 e o plano pi:y=0. O conteúdo é seção de quádricas por planos. Para resolver, vamos substituir y=0 na equação de Q e reconhecer a cônica resultante.

Passo 2

Substituir y=0 em x^2+y^2-tfracz^24=1. Isso dá
x^2-z^24=1

Passo 3

Colocar a equação na forma canônica de uma hipérbole, identificando os semieixos a e b:
$$\frac{x{2}}{1}-\frac{z{2}}{4}=1
$$
Aqui x^21-z^24=1 e a=1, com centro na origem do plano b=2.

Passo 4

Determinar elementos principais:
  • Centro: (0,0,0).
  • Vértices (nas direções de x): (pm a,0,0)=(pm1,0,0).
  • Focos: c=raiza^2+b^2=raiz1+4=raiz5, logo em (pmraiz5,0,0).
  • Assíntotas no plano y=0: z=pmtfracbax=pm2x.

Resposta

A seção Qcappi é a hipérbole no plano y=0 dada pela equação x^2-tfracz^24=1. Elementos principais:
Centro: (0,0,0);
Vértices: (pm1,0,0);
Focos: (pmraiz5,0,0);
Assíntotas: z=pm2x.

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