Achar a equação do parabolóide de vértice em (0,0,0) e eixo sobre O Z que passa pelos pontos (2,0,3) e (1,2,3).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a equação de um paraboloide com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo de OZ, que passe pelos pontos (2,0,3) e (1,2,3). O conteúdo é geometria analítica de cônicas e quadricas e vamos usar a forma geral de um paraboloide elíptico.

Passo 2

Para um paraboloide com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo z, não existem termos lineares em x ou y nem termos mistos. Logo, a forma geral é
z = A,x^2 + B,y^2
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Aplicando o ponto (2,0,3): basta substituir x=2, y=0 e z=3 em z = A x^2 + B y^2. Isso dá
3 = A cdot 2^2 + B cdot 0^2 = 4A
Logo
A = 34

Passo 4

Agora usamos o ponto (1,2,3): em z = A x^2 + B y^2 substituímos x=1, y=2, z=3 e já conhecemos A=3/4. Assim
3 = 34cdot 1^2 + Bcdot 2^2 = 34 + 4B
Isolando B:
4B = 3 - 34 = 12 - 34 = 94
B = 916

Passo 5

Substituindo A e B na forma geral, obtemos a equação do paraboloide: z = (3/4)x² + (9/16)y².

Resposta

z = \frac{3}{4}x^{2} + \frac{9}{16}y^{2}

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