Achar a equação do parabolóide de vértice em
e eixo sobre
que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos a equação de um paraboloide com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo de OZ, que passe pelos pontos (2,0,3) e (1,2,3). O conteúdo é geometria analítica de cônicas e quadricas e vamos usar a forma geral de um paraboloide elíptico.
Passo 2
Para um paraboloide com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo z, não existem termos lineares em x ou y nem termos mistos. Logo, a forma geral é
onde A e B são constantes a determinar.
Passo 3
Aplicando o ponto (2,0,3): basta substituir x=2, y=0 e z=3 em
. Isso dá
Logo
Passo 4
Agora usamos o ponto (1,2,3): em
substituímos x=1, y=2, z=3 e já conhecemos
. Assim
Isolando B:
Passo 5
Substituindo A e B na forma geral, obtemos a equação do paraboloide: z = (3/4)x² + (9/16)y².
Resposta
z = \frac{3}{4}x^{2} + \frac{9}{16}y^{2}