(a)
. [resp.
(b)
. [resp.
©
resp.
(d)
. [resp.
(e)
. [resp.
(f)
.
resp.
(g)
.
(h)
. [resp.
(i)
. [resp. não conservativo]
(j)
. [resp. não conservativo]
(k)
. [resp. não conservativo]
(l)
.
resp.
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 1
A questão pede para cada campo vetorial ou forma diferencial dada verificar se é conservativo/exato e, se for, encontrar uma função potencial
tal que
(ou
). O conteúdo principal é teoria de campos conservativos e formas exatas.
Passo 2
Em
, uma forma
é exata se
. Em
, um campo
é conservativo se
.
Passo 3
Para encontrar a potencial nos casos exatos em
:
- Integramos
em relação a para obter . - Diferenciamos essa
em relação a e igualamos a para achar , depois integramos para achar .
Em, integramos a componente em , depois ajustamos funções de , e seguimos processo análogo usando e .
Passo 4
Nos itens (i), (j) e (k) basta calcular a desigualdade das derivadas cruzadas ou o rotor para concluir que não são exatos (por exemplo, em (i)
difere de
).
Passo 5
Aplicando o procedimento acima a cada caso, obtemos as funções potenciais ou concluímos que não são conservativos.
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) não conservativo
(j) não conservativo
(k) não conservativo
(l)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) não conservativo
(j) não conservativo
(k) não conservativo
(l)