(a) F(x, y)=x i+y j. [resp. varphi(x, y)=12(x^2+y^2)+C]
(b) F(x, y)=3 x^2 y i+x^3 j. [resp. varphi(x, y)=x^3 y+C]
© F(x, y)=(2 x e^y+y) i+(x^2 e^y+x-2 y) j [ resp. varphi(x, y)=x^2 e^y+x y-y^2+C]
(d) F(x, y, z)=x i+y j+z k. [resp. varphi(x, y)=12(x^2+y^2+z^2)+C]
(e) F(x, y)=(y^2-3 x) i+(2 x y+cos y) j. [resp. varphi(x, y)=x y^2-32 x^2+sen y+C]
(f) (sen y-y sen x+x) d x+(cos x+x cos y+y) d y. [ resp. varphi(x, y)=x sen y+y cos x+12(x^2+y^2)+C]
(g) [sen(y x)+x y cos (x y)] d x+[x^2 cos (x y)] d y. [resp varphi(x, y)=x sen x y+C]
(h) (x+z) d x-(y+z) d y+(x-y) d z. [resp. varphi(x, y, z)=(x-y) z+12(x^2-y^2)+C]
(i) 2 x y^3 d x+x^2 y^3 d y+3 x^2 y z^2 d z. [resp. não conservativo]
(j) 3 y^4 z^2 d x+4 x^3 y^2 d y-3 x^2 y^2 d z. [resp. não conservativo]
(k) (2 x^2+8 x y^2) d x+(3 x^3 y-3 x y) d y-(4 y^2 z^2+2 x^3 z) d z. [resp. não conservativo]
(l) (y^2 cos x+z^3) d x-(4-2 y sen x) d y+(3 x z^2+2) d z. [ resp. varphi(x, y, z)=y^2 sen x+x z^3-4 y+2 z+C]

Passo 1

A questão pede para cada campo vetorial ou forma diferencial dada verificar se é conservativo/exato e, se for, encontrar uma função potencial varphi tal que dvarphi=F (ou dvarphi=M,dx+N,dy+P,dz). O conteúdo principal é teoria de campos conservativos e formas exatas.

Passo 2

Em R^2, uma forma M(x,y),dx+N(x,y),dy é exata se partial M/partial y=partial N/partial x. Em R^3, um campo vec F=(P,Q,R) é conservativo se nablatimesvec F=0.

Passo 3

Para encontrar a potencial nos casos exatos em R^2:
  1. Integramos M(x,y) em relação a x para obter varphi(x,y)=integral M,dx + h(y).
  2. Diferenciamos essa varphi em relação a y e igualamos a N(x,y) para achar h'(y), depois integramos para achar h(y).
    Em R^3, integramos a componente P(x,y,z) em x, depois ajustamos funções de y,z, e seguimos processo análogo usando Q=partialvarphi/partial y e R=partialvarphi/partial z.

Passo 4

Nos itens (i), (j) e (k) basta calcular a desigualdade das derivadas cruzadas ou o rotor para concluir que não são exatos (por exemplo, em (i) partial/partial y(2xy^3)=6xy^2 difere de partial/partial x(x^2y^3)=2xy^3).

Passo 5

Aplicando o procedimento acima a cada caso, obtemos as funções potenciais ou concluímos que não são conservativos.

Resposta

(a) varphi=tfrac12(x^2+y^2)+C
(b) varphi=x^3y+C
© varphi=x^2e^y+xy-y^2+C
(d) varphi=tfrac12(x^2+y^2+z^2)+C
(e) varphi=xy^2-tfrac32x^2+sin y+C
(f) varphi=xsin y+ycos x+tfrac12(x^2+y^2)+C
(g) varphi=xsin(xy)+C
(h) varphi=(x-y)z+tfrac12(x^2-y^2)+C
(i) não conservativo
(j) não conservativo
(k) não conservativo
(l) varphi=y^2sin x+xz^3-4y+2z+C

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