How much dry sugar must be added in 100 kg of aqueous sugar solution in order to increase its concentration from 20 \% to 50 \% ?

Passo 1

O enunciado dá uma solução aquosa de açúcar com massa total 100\\ \text{kg} e concentração inicial de 20\%. Pede-se a massa de açúcar seco que deve ser adicionada para que a concentração passe a 50\%.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Massa inicial da solução: 100\\ \text{kg}.
  • Concentração inicial de açúcar: 20\%.
  • Concentração desejada de açúcar: 50\%.
    A incógnita é a massa de açúcar seco que vamos chamar de x (em kg).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): concentração em porcentagem aqui significa fração em massa de açúcar na solução. Ou seja,
\text{concentração} = \frac{\text{massa de açúcar}}{\text{massa total da solução}}.çãçúçã
No problema, ao adicionar açúcar seco de massa x não se adiciona água, portanto:
  • a massa de açúcar passa a ser massa inicial de açúcar + x,
  • a massa total passa a ser 100 + x.
    Primeiro calcule a massa inicial de açúcar: 20\% de 100\\ \text{kg} é
\text{massa de açúcar inicial} = 100 \times 20\% = 100 \times 0{,}20 = 20\\ \text{kg}.çú
Montamos então a equação que representa a condição de concentração final 50\%:
\frac{20 + x}{100 + x} = 0{,}5.

Passo 3

Agora resolvemos a equação passo a passo. Partimos de
\frac{20 + x}{100 + x} = 0{,}5.
Multiplicando ambos os lados por 100 + x para eliminar o denominador:
20 + x = 0{,}5(100 + x).
Expandindo o lado direito:
20 + x = 0{,}5\cdot 100 + 0{,}5x = 50 + 0{,}5x.
Isolamos x subtraindo 0{,}5x de ambos os lados e subtraindo 20 de ambos os lados:
x - 0{,}5x = 50 - 20.
Isso dá
0{,}5x = 30.
Dividindo ambos os lados por 0{,}5 (ou multiplicando por 2):
x = \frac{30}{0{,}5} = 60.

Passo 4

Verificação (sempre importante na prova): se adicionarmos x=60\\ \text{kg}, a nova massa total será 100+60=160\\ \text{kg} e a massa de açúcar será 20+60=80\\ \text{kg}. A concentração resultante é
\frac{80}{160} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%,
ou seja, confere com o desejado. Está consistente.

Resposta

60\\ \text{kg}

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