1000 moles de um gás ideal diatômico estão inicialmente3 a 1 atm e 27^{\circ} \mathrm{C}.
Se este gás sofre uma expansão adiabática livre num recipiente que se fez vácuo (expansão de Joule), encontre a temperatura final, \Delta S, Q e W nesse processo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
  • Dados fornecidos:
    • Número de mols: n=1000.
    • Pressão inicial: P_i=1\\ \text{atm} (não precisamos convertê-la se não formos calcular volumes numéricos, mas quando necessário convertemos para pascals).
    • Temperatura inicial: 27^\circ\mathrm{C}. Em kelvin isso é T_i=27+273=300\\ \mathrm{K}.
    • O gás é ideal e diatômico.
    • O processo é uma expansão adiabática livre (expansão de Joule) para um recipiente que estava em vácuo.
  • O que o enunciado pede:
    1. A temperatura final T_f.
    2. A variação de entropia \Delta S.
    3. O calor trocado Q.
    4. O trabalho W.
Obs.: o enunciado não dá o volume final V_f nem a pressão final P_f. Caso seja necessária uma quantidade numérica para \Delta S, teremos que deixar o resultado em função de V_f/V_i ou de P_f. Agora começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Entendendo a expansão livre (Joule) e suas consequências físicas (ideia chave).
  • Expansão livre significa que o gás se expande para um espaço que estava evacuado (pressão externa P_\text{ext}=0 durante a expansão). Não há troca de calor com o exterior (o processo é adiabático) e não há força externa resistindo ao avanço do gás (portanto o trabalho de pressão realizado sobre o entorno é zero).
  • Regras importantes que vamos usar:
    • Primeira lei da termodinâmica (conservação de energia para sistemas simples): \Delta U = Q - W,onde \Delta U é a variação da energia interna do gás, Q o calor recebido pelo gás (positivo se entra) e W o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente).
    • Para um gás ideal, a energia interna depende somente da temperatura: se \Delta T=0 então \Delta U=0.
  • Antes de calcular qualquer coisa, já podemos deduzir algumas consequências imediatas desta definição: em expansão livre para vácuo temos Q=0 (adiabático) e W=0 (porque W=\int P_\text{ext}\,dV e P_\text{ext}=0 durante a expansão). Vou detalhar e justificar isso nos próximos passos.

Passo 3

Demonstrando que W=0 e Q=0 no processo (explicação didática).
  • Definição de trabalho de pressão: para uma transformação em que a pressão externa que atua na fronteira do sistema é P_\text{ext}, W=\int_{V_i}^{V_f} P_\text{ext}\,dV.Na expansão livre o gás expande contra vácuo, então P_\text{ext}=0 durante a expansão, logo W=\int_{V_i}^{V_f} 0\;dV = 0.Isso é uma consequência direta da definição física da expansão livre.
  • Sobre o calor Q: o enunciado diz “expansão adiabática livre”, isto é, o processo é adiabático — não há troca de calor entre sistema e ambiente. Por definição, Q=0.
  • Portanto, já temos os valores: Q=0,\qquad W=0.Vou usar isso imediatamente na primeira lei para obter \Delta U e \Delta T.

Passo 4

Aplicando a primeira lei para obter \Delta U e a temperatura final.
  • Pela primeira lei: \Delta U = Q - W = 0 - 0 = 0.
  • Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura; assim \Delta U = n C_V \Delta T,onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (para um gás ideal, por mol).
  • Como \Delta U=0, segue que n C_V \Delta T = 0 \quad\Rightarrow\quad \Delta T = 0.Portanto a temperatura final é igual à inicial: T_f = T_i = 300\\ \mathrm{K} \quad\text{(ou }27^\circ\mathrm{C}\text{)}.
  • Observação sobre C_V para gás diatômico: em condições usuais (temperatura ambiente, modos vibracionais congelados) usa-se C_V = \tfrac{5}{2}R,porque há 3 graus de liberdade de translação e 2 de rotação efetivos, totalizando 5/2 por mol vezes R. Não precisamos do valor numérico de C_V para concluir \Delta T=0, mas é bom saber o porquê desse valor em termodinâmica de gases.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia \Delta S — estratégia e justificativa.
  • Entropia S é uma função de estado. Mesmo que a transformação real tenha sido irreversível (expansão livre), a variação \Delta S entre os estados inicial e final pode ser calculada escolhendo qualquer caminho reversível que ligue esses estados.
  • Uma escolha conveniente é um caminho reversível isotérmico (já que T final = T inicial), isto é, imaginar que o gás se expande reversivelmente e isotermicamente de V_i para V_f. Nesse caminho reversível isotérmico: \delta Q_\text{rev} = P\,dV.Usando a definição de entropia diferencial para um processo reversível, dS = \frac{\delta Q_\text{rev}}{T} = \frac{P\,dV}{T}.
  • Para um gás ideal P=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo: dS = \frac{nRT}{V}\cdot\frac{dV}{T} = nR\frac{dV}{V}.Integrando de V_i a V_f: \Delta S = \int_{V_i}^{V_f} nR\frac{dV}{V} = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).Esta é a expressão clássica para a variação de entropia de um gás ideal em uma expansão isoterma reversível — válida aqui porque entropia é função de estado.

Passo 6

Colocando a expressão de \Delta S em forma prática e nota sobre falta de V_f.
  • Substituindo n=1000 e R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}, \Delta S = 1000\cdot 8{,}314\\ \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = 8314\\ \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\\ \mathrm{J/K}.
  • Alternativamente, usando a relação da equação de estado \;V=\dfrac{nRT}{P} e sabendo que T é constante, podemos escrever \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{P_i}{P_f}. Assim \Delta S = nR\ln\!\left(\frac{P_i}{P_f}\right).Isso é útil se alguém fornecer a pressão final em vez do volume final.
  • Observação qualitativa importante: na expansão livre irreversível para um volume maior (caso não haja compressão de volta), temos V_f>V_i e portanto \Delta S>0. A entropia do gás aumenta.

Passo 7

Exemplinho numérico (opcional) para fixar a intuição.
  • Se o enunciado tivesse dito, por exemplo, que o volume dobra ( V_f=2V_i), então \Delta S = 8314\ln 2 \approx 8314\times 0{,}6931 \approx 5764\\ \mathrm{J/K}.Só um exemplo para ver números concretos; sem V_f dado, a resposta precisa permanecer em função de V_f/V_i.

Passo 8

Recapitulando tudo e apresentando os valores finais (já justificados).
  • Temperatura final: permanece 300\\ \mathrm{K} (igual à inicial).
  • Calor trocado: Q=0 (adiabático).
  • Trabalho: W=0 (expansão contra vácuo).
  • Variação de entropia: \Delta S = nR\ln(V_f/V_i), que para n=1000 vale 8314\ln(V_f/V_i)\\ \mathrm{J/K}. Se for conhecido P_f, usamos \Delta S = 1000R\ln(P_i/P_f).

Resposta

T_f = 300\\ \mathrm{K} = 27^\circ\mathrm{C}
\displaystyle \Delta S = 1000\,R\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=8314\\ \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\\ \mathrm{J/K}
Q=0
W=0

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