1000 moles de um gás ideal diatômico estão inicialmente3 a 1 atm e
.
Se este gás sofre uma expansão adiabática livre num recipiente que se fez vácuo (expansão de Joule), encontre a temperatura final,
e
nesse processo.
Se este gás sofre uma expansão adiabática livre num recipiente que se fez vácuo (expansão de Joule), encontre a temperatura final,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
-
Dados fornecidos:
- Número de mols:
. - Pressão inicial:
(não precisamos convertê-la se não formos calcular volumes numéricos, mas quando necessário convertemos para pascals). - Temperatura inicial:
. Em kelvin isso é . - O gás é ideal e diatômico.
- O processo é uma expansão adiabática livre (expansão de Joule) para um recipiente que estava em vácuo.
- Número de mols:
-
O que o enunciado pede:
- A temperatura final
. - A variação de entropia
. - O calor trocado
. - O trabalho
.
- A temperatura final
Obs.: o enunciado não dá o volume final
nem a pressão final
. Caso seja necessária uma quantidade numérica para
, teremos que deixar o resultado em função de
ou de
. Agora começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Entendendo a expansão livre (Joule) e suas consequências físicas (ideia chave).
- Expansão livre significa que o gás se expande para um espaço que estava evacuado (pressão externa
durante a expansão). Não há troca de calor com o exterior (o processo é adiabático) e não há força externa resistindo ao avanço do gás (portanto o trabalho de pressão realizado sobre o entorno é zero). - Regras importantes que vamos usar:
- Primeira lei da termodinâmica (conservação de energia para sistemas simples):
onde é a variação da energia interna do gás, o calor recebido pelo gás (positivo se entra) e o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente). - Para um gás ideal, a energia interna depende somente da temperatura: se
então .
- Primeira lei da termodinâmica (conservação de energia para sistemas simples):
- Antes de calcular qualquer coisa, já podemos deduzir algumas consequências imediatas desta definição: em expansão livre para vácuo temos
(adiabático) e (porque e durante a expansão). Vou detalhar e justificar isso nos próximos passos.
Passo 3
Demonstrando que
e
no processo (explicação didática).
- Definição de trabalho de pressão: para uma transformação em que a pressão externa que atua na fronteira do sistema é
, Na expansão livre o gás expande contra vácuo, então durante a expansão, logo Isso é uma consequência direta da definição física da expansão livre. - Sobre o calor
: o enunciado diz “expansão adiabática livre”, isto é, o processo é adiabático — não há troca de calor entre sistema e ambiente. Por definição, - Portanto, já temos os valores:
Vou usar isso imediatamente na primeira lei para obter e .
Passo 4
Aplicando a primeira lei para obter
e a temperatura final.
- Pela primeira lei:
- Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura; assim
onde é a capacidade calorífica molar a volume constante (para um gás ideal, por mol). - Como
, segue que Portanto a temperatura final é igual à inicial: - Observação sobre
para gás diatômico: em condições usuais (temperatura ambiente, modos vibracionais congelados) usa-se porque há 3 graus de liberdade de translação e 2 de rotação efetivos, totalizando por mol vezes . Não precisamos do valor numérico de para concluir , mas é bom saber o porquê desse valor em termodinâmica de gases.
Passo 5
Cálculo da variação de entropia
— estratégia e justificativa.
- Entropia
é uma função de estado. Mesmo que a transformação real tenha sido irreversível (expansão livre), a variação entre os estados inicial e final pode ser calculada escolhendo qualquer caminho reversível que ligue esses estados. - Uma escolha conveniente é um caminho reversível isotérmico (já que
final = inicial), isto é, imaginar que o gás se expande reversivelmente e isotermicamente de para . Nesse caminho reversível isotérmico: Usando a definição de entropia diferencial para um processo reversível, - Para um gás ideal
. Substituindo: Integrando de a : Esta é a expressão clássica para a variação de entropia de um gás ideal em uma expansão isoterma reversível — válida aqui porque entropia é função de estado.
Passo 6
Colocando a expressão de
em forma prática e nota sobre falta de
.
- Substituindo
e , - Alternativamente, usando a relação da equação de estado
e sabendo que é constante, podemos escrever . Assim Isso é útil se alguém fornecer a pressão final em vez do volume final. - Observação qualitativa importante: na expansão livre irreversível para um volume maior (caso não haja compressão de volta), temos
e portanto . A entropia do gás aumenta.
Passo 7
Exemplinho numérico (opcional) para fixar a intuição.
- Se o enunciado tivesse dito, por exemplo, que o volume dobra (
), então Só um exemplo para ver números concretos; sem dado, a resposta precisa permanecer em função de .
Passo 8
Recapitulando tudo e apresentando os valores finais (já justificados).
- Temperatura final: permanece
(igual à inicial). - Calor trocado:
(adiabático). - Trabalho:
(expansão contra vácuo). - Variação de entropia:
, que para vale . Se for conhecido , usamos .