1.1010 (IMPA)

Prove que para matrizes ortogonais:
\operatorname{det}(A)= \pm 1

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se A é uma matriz ortogonal, então \det(A)=\pm 1.
Informações dadas / que entram na prova:
  • Definição: uma matriz A (assumimos real, de ordem n) é ortogonal se vale
A^{T}A=I,
onde A^{T} é a transposta de A e I é a matriz identidade de ordem n.
  • Objetivo claro: mostrar que o determinante de A é igual a +1 ou a -1.

Passo 2

Relembrando e explicando as propriedades do determinante que vamos usar (pequena “aula”):
  • Propriedade multiplicativa: para duas matrizes quadradas compatíveis B e C vale
\det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}.
Intuição simples: o determinante mede o fator de escala de volume aplicado por uma transformação linear; aplicar C e depois B escala o volume por \det\text{(C)} e em seguida por \det(B), logo o total é o produto.
  • Determinante da transposta: para qualquer matriz quadrada B vale
\det(B^{T})=\det(B).
Explicação direta: o determinante pode ser visto como uma função multilinear alternada das colunas; tomar a transposta troca linhas por colunas, mas a mesma fórmula (soma sobre permutações) dá o mesmo valor, portanto o determinante não muda.
  • Determinante da identidade: para a matriz identidade I temos
\det(I)=1,
pois a identidade não altera volumes.
Essas propriedades são padrões que podem ser aceitos ou demonstrados em provas teóricas; aqui vamos usá-las explicitamente.

Passo 3

Aplicar a função determinante à igualdade que define ortogonalidade:
A^{T}A=I.
Tomando determinante em ambos os lados e usando a multiplicatividade:
\det(A^{T}A)=\det(I).

Passo 4

Usando a multiplicatividade em \det(A^{T}A) e a propriedade da transposta:
\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}.
Do outro lado sabemos que \det(I)=1. Assim obtemos
\det(A)^{2}=1.

Passo 5

Resolver a equação \det(A)^{2}=1. Os números reais cujo quadrado é 1 são +1 e -1. Logo
\det(A)=\pm 1.
Comentário de motivação/prática (pé no ombro): exemplos concretos — uma matriz de rotação em \mathbb{R}^{2} tem determinante +1; uma reflexão (por exemplo \operatorname{diag}(1,-1)) tem determinante -1. Matrizes ortogonais correspondem a combinações de rotações e reflexões, por isso o determinante só pode indicar se há ou não uma reflexão (sinal negativo) além de preservação de comprimento (módulo 1).

Resposta

\det(A)=\pm 1

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