1.1010 (IMPA)
Prove que para matrizes ortogonais:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é uma matriz ortogonal, então
.
Informações dadas / que entram na prova:
- Definição: uma matriz
(assumimos real, de ordem ) é ortogonal se vale
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade de ordem
.
- Objetivo claro: mostrar que o determinante de
é igual a ou a .
Passo 2
Relembrando e explicando as propriedades do determinante que vamos usar (pequena “aula”):
- Propriedade multiplicativa: para duas matrizes quadradas compatíveis
e vale
Intuição simples: o determinante mede o fator de escala de volume aplicado por uma transformação linear; aplicar
e depois
escala o volume por
e em seguida por
, logo o total é o produto.
- Determinante da transposta: para qualquer matriz quadrada
vale
Explicação direta: o determinante pode ser visto como uma função multilinear alternada das colunas; tomar a transposta troca linhas por colunas, mas a mesma fórmula (soma sobre permutações) dá o mesmo valor, portanto o determinante não muda.
- Determinante da identidade: para a matriz identidade
temos
pois a identidade não altera volumes.
Essas propriedades são padrões que podem ser aceitos ou demonstrados em provas teóricas; aqui vamos usá-las explicitamente.
Passo 3
Aplicar a função determinante à igualdade que define ortogonalidade:
Tomando determinante em ambos os lados e usando a multiplicatividade:
Passo 4
Usando a multiplicatividade em
e a propriedade da transposta:
Do outro lado sabemos que
. Assim obtemos
Passo 5
Resolver a equação
. Os números reais cujo quadrado é
são
e
. Logo
Comentário de motivação/prática (pé no ombro): exemplos concretos — uma matriz de rotação em
tem determinante
; uma reflexão (por exemplo
) tem determinante
. Matrizes ortogonais correspondem a combinações de rotações e reflexões, por isso o determinante só pode indicar se há ou não uma reflexão (sinal negativo) além de preservação de comprimento (módulo 1).