1.88 (USP)
Mostre que para uma matriz ortogonal:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma matriz ortogonal, vale
Informações dadas e notação:
-
é uma matriz ortogonal (quadrada) de ordem . -
denota o elemento da linha e coluna de . -
é o delta de Kronecker, isto é se e se . - A soma em
vai de até (vamos escrevê-la explicitamente para ficar claro).
Passo 2
Definição útil (explicada com calma): dizer que
é ortogonal significa que a inversa de
é igual à sua transposta. Em símbolos,
Isto quer dizer que multiplicando
pela sua transposta obtemos a matriz identidade
:
A matriz identidade
tem entradas
. Então
é a igualdade matriz que vamos usar.
Passo 3
Lembrete sobre multiplicação de matrizes em componentes (passo técnico essencial): se
e
são matrizes compatíveis, o elemento
do produto é dado por
Isto significa: para obter o elemento da linha
e coluna
do produto, fazemos o produto escalar da linha
de
com a coluna
de
.
Passo 4
Aplicando a regra do passo anterior ao produto
, temos para os elementos:
Mas a definição de transposta diz que
. Substituindo,
Passo 5
Como
é ortogonal sabemos que
. Portanto, cada elemento do lado esquerdo é igual ao correspondente elemento da identidade. Assim
Pronto — essa é exatamente a igualdade pedida. Intuitivamente: as linhas de
formam um conjunto ortonormal no espaço euclidiano, então o produto interno da linha
com a linha
é
se
e
se
.
Passo 6
Um exemplo rápido para fixar (opcional mas didático): para a matriz de rotação em
calculemos
, e
, confirmando
.]