1.88 (USP)

Mostre que para uma matriz ortogonal:
A_{i k} A_{j k}=\delta_{i j}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é uma matriz ortogonal, vale
\sum_{k=1}^{n} A_{i k} A_{j k} = \delta_{i j}.
Informações dadas e notação:
  • A é uma matriz ortogonal (quadrada) de ordem n.
  • A_{i k} denota o elemento da linha i e coluna k de A.
  • \delta_{i j} é o delta de Kronecker, isto é \delta_{i j}=1 se i=j e \delta_{i j}=0 se i\neq j.
  • A soma em k vai de 1 até n (vamos escrevê-la explicitamente para ficar claro).

Passo 2

Definição útil (explicada com calma): dizer que A é ortogonal significa que a inversa de A é igual à sua transposta. Em símbolos,
A^{-1}=A^{T}.
Isto quer dizer que multiplicando A pela sua transposta obtemos a matriz identidade I:
A\,A^{T}=I.
A matriz identidade I tem entradas (I)_{ij}=\delta_{ij}. Então A\,A^{T}=I é a igualdade matriz que vamos usar.

Passo 3

Lembrete sobre multiplicação de matrizes em componentes (passo técnico essencial): se B e C são matrizes compatíveis, o elemento (BC)_{ij} do produto é dado por
(BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} B_{i k}\,C_{k j}.
Isto significa: para obter o elemento da linha i e coluna j do produto, fazemos o produto escalar da linha i de B com a coluna j de C.

Passo 4

Aplicando a regra do passo anterior ao produto A\,A^{T}, temos para os elementos:
(A\,A^{T})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{i k}\,(A^{T})_{k j}.
Mas a definição de transposta diz que (A^{T})_{k j}=A_{j k}. Substituindo,
(A\,A^{T})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{i k}\,A_{j k}.

Passo 5

Como A é ortogonal sabemos que A\,A^{T}=I. Portanto, cada elemento do lado esquerdo é igual ao correspondente elemento da identidade. Assim
\sum_{k=1}^{n} A_{i k}\,A_{j k}=(A\,A^{T})_{ij}=I_{ij}=\delta_{i j}.
Pronto — essa é exatamente a igualdade pedida. Intuitivamente: as linhas de A formam um conjunto ortonormal no espaço euclidiano, então o produto interno da linha i com a linha j é 0 se i\neq j e 1 se i=j.

Passo 6

Um exemplo rápido para fixar (opcional mas didático): para a matriz de rotação em 2\times2
A=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}
calculemos \sum_{k}A_{1k}A_{2k}=(\cos\theta)(\sin\theta)+(-\sin\theta)(\cos\theta)=0, e \sum_{k}A_{1k}A_{1k}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, confirmando \sum_{k}A_{ik}A_{jk}=\delta_{ij}.]

Resposta

\sum_{k=1}^{n} A_{i k}\,A_{j k}=\delta_{i j}

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