1.1313 (UFC)

Mostre que:
R^{T}(\theta)=R(-\theta)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
R^{T}(\theta)=R(-\theta).
Informações que vamos usar (definições explícitas que o enunciado pressupõe): a matriz de rotação no plano por um ângulo \theta é dada por
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
e a operação de transposição de uma matriz troca linhas por colunas (ou seja, espelha em relação à diagonal principal).]

Passo 2

Entender o que é transpor uma matriz 2×2. Para uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
a sua transposta é
A^{T}=\begin{pmatrix}a & c\\[4pt]b & d\end{pmatrix},
ou seja, os elementos fora da diagonal principal são trocados de posição: b vai para a posição de c e c vai para a posição de b.]

Passo 3

Aplicar a definição de transposta em R(\theta). Como
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
a transposta é
R^{T}(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aqui trocamos o elemento -\sin\theta (posição (1,2)) pelo \sin\theta (posição (2,1)) e mantivemos os elementos da diagonal.]

Passo 4

Calcular R(-\theta) substituindo \theta por -\theta na definição de R:
R(-\theta)=\begin{pmatrix}\cos(-\theta) & -\sin(-\theta)\\[4pt]\sin(-\theta) & \cos(-\theta)\end{pmatrix}.
Agora usamos as identidades trigonométricas básicas: \cos(-\theta)=\cos\theta (coseno é função par) e \sin(-\theta)=-\sin\theta (seno é função ímpar). Uma maneira intuitiva de ver isso é pensar no círculo trigonométrico: inverter o sinal do ângulo espelha o ponto em relação ao eixo x, deixando a abscissa (cosseno) igual e invertendo o sinal da ordenada (seno).]

Passo 5

Usando as identidades do passo anterior, simplificamos R(-\theta):
R(-\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -(-\sin\theta)\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparando as matrizes obtidas:
R^{T}(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad R(-\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
vemos que são idênticas elemento a elemento. Portanto a igualdade desejada é verdadeira.]

Resposta

R^{T}(\theta)=R(-\theta)

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