1.1313 (UFC)
Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Informações que vamos usar (definições explícitas que o enunciado pressupõe): a matriz de rotação no plano por um ângulo
é dada por
e a operação de transposição de uma matriz troca linhas por colunas (ou seja, espelha em relação à diagonal principal).]
Passo 2
Entender o que é transpor uma matriz 2×2. Para uma matriz genérica
a sua transposta é
ou seja, os elementos fora da diagonal principal são trocados de posição:
vai para a posição de
e
vai para a posição de
.]
Passo 3
Aplicar a definição de transposta em
. Como
a transposta é
Aqui trocamos o elemento
(posição
) pelo
(posição
) e mantivemos os elementos da diagonal.]
Passo 4
Calcular
substituindo
por
na definição de
:
Agora usamos as identidades trigonométricas básicas:
(coseno é função par) e
(seno é função ímpar). Uma maneira intuitiva de ver isso é pensar no círculo trigonométrico: inverter o sinal do ângulo espelha o ponto em relação ao eixo
, deixando a abscissa (cosseno) igual e invertendo o sinal da ordenada (seno).]
Passo 5
Usando as identidades do passo anterior, simplificamos
:
Passo 6
Comparando as matrizes obtidas:
vemos que são idênticas elemento a elemento. Portanto a igualdade desejada é verdadeira.]