Primeiro, o que significa “matriz ortogonal”? Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se satisfaz
A^{T}A=I,
onde A^{T} é a transposta de A (ou seja, trocar linhas por colunas) e I é a matriz identidade (aquela com 1s na diagonal e 0s fora dela). Outra maneira equivalente de dizer isso é: as colunas de A formam um conjunto ortonormal no produto interno usual — isto é, cada coluna tem comprimento 1 e colunas diferentes são ortogonais (produto interno zero).
Passo 3
Calcular a transposta de R_{z}(\theta). Trocar linhas por colunas dá:
Agora vamos calcular o produto R_{z}(\theta)^{T}R_{z}(\theta). Multiplicando as duas matrizes (produto linha × coluna), vamos calcular elemento a elemento.
Como R_{z}(\theta)^{T}R_{z}(\theta)=I, por definição R_{z}(\theta) é uma matriz ortogonal. Uma observação extra (útil para a prova): isso também mostra que as colunas de R_{z}(\theta) são vetores unitários e mutuamente ortogonais — são exatamente os vetores obtidos ao girar os vetores canônicos em \mathbb{R}^{3} pelo ângulo \theta em torno do eixo z.
Resposta
A matriz R_{z}(\theta) é ortogonal pois R_{z}(\theta)^{T}R_{z}(\theta)=I.