1.99 (UNICAMP)

Considere a rotação em torno do eixo z em R^{3} :
R_{z}(\theta)=\left(\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Mostre que essa matriz é ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de rotação em torno do eixo z:
R_{z}(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
A tarefa é: mostrar que essa matriz é ortogonal.]

Passo 2

Primeiro, o que significa “matriz ortogonal”? Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se satisfaz
A^{T}A=I,
onde A^{T} é a transposta de A (ou seja, trocar linhas por colunas) e I é a matriz identidade (aquela com 1s na diagonal e 0s fora dela). Outra maneira equivalente de dizer isso é: as colunas de A formam um conjunto ortonormal no produto interno usual — isto é, cada coluna tem comprimento 1 e colunas diferentes são ortogonais (produto interno zero).

Passo 3

Calcular a transposta de R_{z}(\theta). Trocar linhas por colunas dá:
R_{z}(\theta)^{T}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0\\[4pt] -\sin\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

Passo 4

Agora vamos calcular o produto R_{z}(\theta)^{T}R_{z}(\theta). Multiplicando as duas matrizes (produto linha × coluna), vamos calcular elemento a elemento.
Elemento (1,1):
(\cos\theta)(\cos\theta)+(\sin\theta)(\sin\theta)+0\cdot0=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Elemento (1,2):
(\cos\theta)(-\sin\theta)+(\sin\theta)(\cos\theta)+0\cdot0=-\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta=0.
Elemento (1,3):
(\cos\theta)\cdot0+(\sin\theta)\cdot0+0\cdot1=0.
Elemento (2,1):
(-\sin\theta)(\cos\theta)+(\cos\theta)(\sin\theta)+0\cdot0=-\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=0.
Elemento (2,2):
(-\sin\theta)(-\sin\theta)+(\cos\theta)(\cos\theta)+0\cdot0=\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Elemento (2,3):
(-\sin\theta)\cdot0+(\cos\theta)\cdot0+0\cdot1=0.
Elemento (3,1):
0\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta+1\cdot0=0.
Elemento (3,2):
0\cdot(-\sin\theta)+0\cdot\cos\theta+1\cdot0=0.
Elemento (3,3):
0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1=1.
Juntando todos os elementos obtém-se
R_{z}(\theta)^{T}R_{z}(\theta)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I.]

Passo 5

Como R_{z}(\theta)^{T}R_{z}(\theta)=I, por definição R_{z}(\theta) é uma matriz ortogonal. Uma observação extra (útil para a prova): isso também mostra que as colunas de R_{z}(\theta) são vetores unitários e mutuamente ortogonais — são exatamente os vetores obtidos ao girar os vetores canônicos em \mathbb{R}^{3} pelo ângulo \theta em torno do eixo z.

Resposta

A matriz R_{z}(\theta) é ortogonal pois R_{z}(\theta)^{T}R_{z}(\theta)=I.

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