3.102 For each function
given below, determine whether
is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
- determinar se
é periódica; - se for periódica, encontrar o período fundamental
.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
- há duas componentes harmônicas: uma cosenoidal com coeficiente angular
e fase ; - outra senoide com coeficiente angular
e fase .
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Entender o período de cada termo isolado.
Fato importante (fórmula que vou usar): uma função
ou
tem período
onde
é a frequência angular (em rad/s) e
é a fase (a fase não altera o período, só desloca a onda no tempo). Aqui:
Portanto os períodos individuais são
Passo 3
Quando a soma de duas funções periódicas é periódica?
Regra prática: a soma de duas funções periódicas com períodos
e
é periódica se existir um
que seja múltiplo inteiro de ambos, isto é, existem inteiros positivos
tais que
Equivalente, em termos das frequências angulares
: é preciso haver inteiros
tais que
Outra forma útil: as frequências angulares devem ser comensuráveis, ou seja, a razão
precisa ser um número racional. Se a razão for racional, existe um período comum; se for irracional, não existe período comum e a soma não é periódica.
Passo 4
Aplicar a condição ao nosso caso.
Calcular a razão das frequências:
que é um número racional (já está na forma irredutível
). Portanto as duas ondas são comensuráveis e a soma será periódica.
Agora iremos encontrar o menor
que satisfaça simultaneamente
para inteiros positivos
. Isso é equivalente a achar inteiros
que satisfazem
Substituindo
e
obtemos
Dividindo por
,
Passo 5
Resolver a condição para os menores inteiros positivos.
A equação
implica que
deve ser múltiplo de
e
múltiplo de
. Escrevendo
e
com
, o menor
positivo que dá inteiros positivos é
. Assim os menores inteiros que funcionam são
Com esses valores o período comum é
Verificação alternativa (usando
):
coerente. Como escolhemos os menores inteiros
possíveis (vimos que são coprimos na forma
e
), esse
é o período fundamental (o menor período positivo comum).
Passo 6
Resumo pedagógico e intuição rápida.
- Cada termo isolado tem período
independente da fase. - Para que a soma seja periódica, as frequências angulares devem ter razão racional. Aqui
é racional, então a soma é periódica. - O período fundamental vem dos menores inteiros que “alinham” as oscilações: precisa-se esperar 7 ciclos da primeira componente ao mesmo tempo em que se completam 3 ciclos da segunda; esse instante é
. - Em forma decimal,
(opcional, para intuição).
Resposta
A função é periódica.
Período fundamental: .
Período fundamental: