3.102 For each function x given below, determine whether x is periodic, and if it is, find its fundamental period T.
x(t)=7 \cos (35 t+3)+5 \sin (15 t-2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função
x(t)=7\cos(35t+3)+5\sin(15t-2):
  • determinar se x(t) é periódica;
  • se for periódica, encontrar o período fundamental T.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • há duas componentes harmônicas: uma cosenoidal com coeficiente angular \omega_1=35 e fase 3;
  • outra senoide com coeficiente angular \omega_2=15 e fase -2.
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Entender o período de cada termo isolado.
Fato importante (fórmula que vou usar): uma função \cos(\omega t+\varphi) ou \sin(\omega t+\varphi) tem período
T=\frac{2\pi}{\omega},
onde \omega é a frequência angular (em rad/s) e \varphi é a fase (a fase não altera o período, só desloca a onda no tempo). Aqui:
\omega_1=35,\qquad \omega_2=15.
Portanto os períodos individuais são
T_1=\frac{2\pi}{35}, \qquad T_2=\frac{2\pi}{15}.

Passo 3

Quando a soma de duas funções periódicas é periódica?
Regra prática: a soma de duas funções periódicas com períodos T_1 e T_2 é periódica se existir um T>0 que seja múltiplo inteiro de ambos, isto é, existem inteiros positivos m_1,m_2 tais que
T=m_1 T_1 = m_2 T_2.
Equivalente, em termos das frequências angulares \omega_1,\omega_2: é preciso haver inteiros m_1,m_2 tais que
\omega_1 T = 2\pi m_1,\qquad \omega_2 T = 2\pi m_2.
Outra forma útil: as frequências angulares devem ser comensuráveis, ou seja, a razão \dfrac{\omega_1}{\omega_2} precisa ser um número racional. Se a razão for racional, existe um período comum; se for irracional, não existe período comum e a soma não é periódica.

Passo 4

Aplicar a condição ao nosso caso.
Calcular a razão das frequências:
\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3},
que é um número racional (já está na forma irredutível 7/3). Portanto as duas ondas são comensuráveis e a soma será periódica.
Agora iremos encontrar o menor T>0 que satisfaça simultaneamente
\omega_1 T = 2\pi m_1,\qquad \omega_2 T = 2\pi m_2
para inteiros positivos m_1,m_2. Isso é equivalente a achar inteiros m_1,m_2 que satisfazem
\frac{m_1}{\omega_1}=\frac{m_2}{\omega_2}.
Substituindo \omega_1=35 e \omega_2=15 obtemos
\frac{m_1}{35}=\frac{m_2}{15} \quad\Longrightarrow\quad 15 m_1 = 35 m_2.
Dividindo por 5,
3 m_1 = 7 m_2.

Passo 5

Resolver a condição para os menores inteiros positivos.
A equação 3 m_1 = 7 m_2 implica que m_1 deve ser múltiplo de 7 e m_2 múltiplo de 3. Escrevendo m_1=7k e m_2=3k com k\in\mathbb{Z}^+, o menor k positivo que dá inteiros positivos é k=1. Assim os menores inteiros que funcionam são
m_1=7,\qquad m_2=3.
Com esses valores o período comum é
T=m_1 T_1 = 7\cdot\frac{2\pi}{35} = \frac{14\pi}{35} = \frac{2\pi}{5}.
Verificação alternativa (usando m_2):
T=m_2 T_2 = 3\cdot\frac{2\pi}{15} = \frac{6\pi}{15} = \frac{2\pi}{5},
coerente. Como escolhemos os menores inteiros m_1,m_2 possíveis (vimos que são coprimos na forma 7 e 3), esse T é o período fundamental (o menor período positivo comum).

Passo 6

Resumo pedagógico e intuição rápida.
  • Cada termo isolado tem período \dfrac{2\pi}{\omega} independente da fase.
  • Para que a soma seja periódica, as frequências angulares devem ter razão racional. Aqui \dfrac{35}{15}=\dfrac{7}{3} é racional, então a soma é periódica.
  • O período fundamental vem dos menores inteiros que “alinham” as oscilações: precisa-se esperar 7 ciclos da primeira componente ao mesmo tempo em que se completam 3 ciclos da segunda; esse instante é T=\dfrac{2\pi}{5}.
  • Em forma decimal, T\approx 1,2566 (opcional, para intuição).

Resposta

A função é periódica.
Período fundamental: T=\dfrac{2\pi}{5}.

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