3.102 For each function
given below, determine whether
is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
Passo 1
O enunciado dá a função
. O que se pede:
- Determinar se
é periódica. - Se for periódica, encontrar o período fundamental
.
Informações fornecidas: a expressão explícita de
em termos de
.
Passo 2
Definição rápida e útil (para a prova): uma função
é periódica se existe
tal que
O período fundamental é o menor
com essa propriedade.
Também é importante lembrar a fórmula da função cosseno com frequência angular: a função
tem período
porque
.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
: aqui
, então o período de
é
Isto significa que
e o menor
que satisfaz isso é
.
Passo 4
Observação sobre potências: se
é periódico de período
, então
é periódico com período
também, porque
Por outro lado, às vezes
pode ter período menor que
(por exemplo, se
for par e
, então
). No caso de
ímpar, a troca de sinal não desaparece:
, portanto a redução de período por mudança de sinal não acontece automaticamente. Ainda assim, para ter certeza do período fundamental é útil decompor a função em somas de cossenos (harmônicos).
Passo 5
Usar a identidade trigonométrica para reduzir potências: para qualquer ângulo
vale
Aplicando com
e lembrando o fator
, obtemos
Simplificando,
Passo 6
Analisar os períodos das componentes:
-
tem período (já calculado). -
tem período
A função
é soma de duas funções periódicas com períodos
e
. O período comum é o mínimo múltiplo comum (MMC) desses dois períodos. Como
é múltiplo de
(
), o menor período comum é
. Logo
é periódica com período
.
Passo 7
Verificação direta da minimalidade: qualquer candidato
que seja período de
deve deixar tanto
quanto
inalterados (ou produzir compensação entre termos, o que não acontece aqui). Testes rápidos mostram que deslocamentos menores, como
ou
, não conservam simultaneamente os dois termos; por exemplo,
muda o sinal do primeiro termo e não restaura
. Portanto o menor período é realmente
.
Resposta
Periódica,