3.102 For each function x given below, determine whether x is periodic, and if it is, find its fundamental period T.
x(t)=[3 \cos (2 t)]^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função x(t)=[3\cos(2t)]^{3}. O que se pede:
  • Determinar se x(t) é periódica.
  • Se for periódica, encontrar o período fundamental T.
Informações fornecidas: a expressão explícita de x(t) em termos de \cos(2t).

Passo 2

Definição rápida e útil (para a prova): uma função f(t) é periódica se existe T>0 tal que
f(t+T)=f(t)\quad\text{para todo }t.
O período fundamental é o menor T>0 com essa propriedade.
Também é importante lembrar a fórmula da função cosseno com frequência angular: a função \cos(\omega t) tem período
T_{\cos}=\frac{2\pi}{\omega},
porque \cos(\omega(t+T_{\cos}))=\cos(\omega t+\omega T_{\cos})=\cos(\omega t+2\pi)=\cos(\omega t).

Passo 3

Aplicando a fórmula para \cos(2t): aqui \omega=2, então o período de \cos(2t) é
T_{\cos(2t)}=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Isto significa que
\cos(2(t+\pi))=\cos(2t+2\pi)=\cos(2t),
e o menor T>0 que satisfaz isso é T=\pi.

Passo 4

Observação sobre potências: se g(t) é periódico de período P, então g(t)^n é periódico com período P também, porque
g(t+P)^n=(g(t+P))^n=g(t)^n.
Por outro lado, às vezes g^n pode ter período menor que P (por exemplo, se n for par e g(t+P/2)=-g(t), então (-g(t))^n=g(t)^n). No caso de n ímpar, a troca de sinal não desaparece: (-g)^n=-g^n, portanto a redução de período por mudança de sinal não acontece automaticamente. Ainda assim, para ter certeza do período fundamental é útil decompor a função em somas de cossenos (harmônicos).

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica para reduzir potências: para qualquer ângulo \theta vale
\cos^{3}\theta=\frac{1}{4}\bigl(3\cos\theta+\cos 3\theta\bigr).
Aplicando com \theta=2t e lembrando o fator 3^3=27, obtemos
x(t)=[3\cos(2t)]^{3}=27\cos^{3}(2t)=27\cdot\frac{1}{4}\bigl(3\cos(2t)+\cos(6t)\bigr).
Simplificando,
x(t)=\frac{81}{4}\cos(2t)+\frac{27}{4}\cos(6t).

Passo 6

Analisar os períodos das componentes:
  • \cos(2t) tem período \pi (já calculado).
  • \cos(6t) tem período
T_{\cos(6t)}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}.
A função x(t) é soma de duas funções periódicas com períodos \pi e \pi/3. O período comum é o mínimo múltiplo comum (MMC) desses dois períodos. Como \pi é múltiplo de \pi/3 ( \pi = 3\cdot(\pi/3)), o menor período comum é \pi. Logo x(t) é periódica com período \pi.

Passo 7

Verificação direta da minimalidade: qualquer candidato T>0 que seja período de x deve deixar tanto \cos(2t) quanto \cos(6t) inalterados (ou produzir compensação entre termos, o que não acontece aqui). Testes rápidos mostram que deslocamentos menores, como T=\pi/3 ou T=\pi/2, não conservam simultaneamente os dois termos; por exemplo, \cos(2(t+\pi/2))=-\cos(2t) muda o sinal do primeiro termo e não restaura x(t). Portanto o menor período é realmente \pi.

Resposta

Periódica, T=\pi

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