3.102 For each function
given below, determine whether
is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: determinar se
é periódica e, se for, encontrar o período fundamental
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Primeiro termo: amplitude
, argumento (aqui a frequência angular é ). - Segundo termo: amplitude
, argumento (aqui a frequência angular é ). - Queremos saber se existe um
tal que para todo . Se existir, queremos o menor .
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho):
- Uma função
é periódica com período se para todo . O período fundamental é o menor com essa propriedade. - Para o cosseno com frequência angular
, o período fundamental é
Explicando:
repete sempre que
muda de
, ou seja quando
, daí
.
- Uma soma de funções periódicas é periódica se existir um
que seja simultaneamente múltiplo inteiro dos períodos fundamentais de todas as parcelas. Equivalentemente, para duas parcelas com períodos e existe período comum se e só se a razão for racional (então existe tais que ). Outra forma equivalente: as frequências angulares devem ter razão racional .
Passo 3
Calcular os períodos das parcelas isoladas:
- Para
a frequência angular é , logo o período é
- Para
a frequência angular é , logo o período é
Agora verifiquemos a razão entre os períodos:
A razão entre os períodos é
.
Passo 4
Argumento sobre racionalidade/irracionalidade e conclusão:
- Para que exista um período comum
para a soma, seria necessário que fosse racional (então com inteiros , e seria um período comum). - Mas
é um número irracional (fato clássico: não pode ser expresso como razão de inteiros). Dividir ou multiplicar por um número racional não nulo preserva a irracionalidade, logo é irracional e não pode igualar nenhuma razão com . - Portanto não existem inteiros
tais que . Isso impede a existência de qualquer período comum às duas parcelas.
Logo a soma
não admite período positivo comum; isto é,
não é periódica.
Passo 5
Resumo didático e dica para a prova (um toque de amigo):
- Regra prática para provas: quando tiver soma de senos/cossenos, calcule as frequências angulares
ou os períodos . A soma é periódica somente se todas as razões (ou ) forem racionais. Se aparecer uma raiz irracional (como ), isso geralmente indica que a função não é periódica. - Não se esqueça:
tem período . Guardar isso resolve muita questão rápido.