3.102 For each function x given below, determine whether x is periodic, and if it is, find its fundamental period T.
x(t)=3 \cos (\sqrt{2} t)+7 \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado dá a função
x(t)=3\cos\!\left(\sqrt{2}\,t\right)+7\cos(2t)
e pede duas coisas: determinar se x é periódica e, se for, encontrar o período fundamental T.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Primeiro termo: amplitude 3, argumento \sqrt{2}\,t (aqui a frequência angular é \omega_1=\sqrt{2}).
  • Segundo termo: amplitude 7, argumento 2t (aqui a frequência angular é \omega_2=2).
  • Queremos saber se existe um T>0 tal que x(t+T)=x(t) para todo t. Se existir, queremos o menor T>0.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho):
  • Uma função f é periódica com período T>0 se f(t+T)=f(t) para todo t. O período fundamental é o menor T>0 com essa propriedade.
  • Para o cosseno com frequência angular \omega, o período fundamental é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Explicando: \cos(\omega t) repete sempre que \omega t muda de 2\pi, ou seja quando \omega(t+T)-\omega t=\omega T=2\pi, daí T=2\pi/\omega.
  • Uma soma de funções periódicas é periódica se existir um T>0 que seja simultaneamente múltiplo inteiro dos períodos fundamentais de todas as parcelas. Equivalentemente, para duas parcelas com períodos T_1 e T_2 existe período comum se e só se a razão T_1/T_2 for racional (então existe p,q\in\mathbb{Z} tais que pT_1=qT_2). Outra forma equivalente: as frequências angulares \omega_1,\omega_2 devem ter razão racional \omega_1/\omega_2\in\mathbb{Q}.

Passo 3

Calcular os períodos das parcelas isoladas:
  • Para \cos(\sqrt{2}\,t) a frequência angular é \omega_1=\sqrt{2}, logo o período é
T_1=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,\pi.
  • Para \cos(2t) a frequência angular é \omega_2=2, logo o período é
T_2=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Agora verifiquemos a razão entre os períodos:
\frac{T_1}{T_2}=\frac{\sqrt{2}\,\pi}{\pi}=\sqrt{2}.
A razão entre os períodos é \sqrt{2}.

Passo 4

Argumento sobre racionalidade/irracionalidade e conclusão:
  • Para que exista um período comum T para a soma, seria necessário que \dfrac{T_1}{T_2} fosse racional (então T_1/T_2=q/p com inteiros p,q, e T=pT_1=qT_2 seria um período comum).
  • Mas \sqrt{2} é um número irracional (fato clássico: não pode ser expresso como razão de inteiros). Dividir ou multiplicar por um número racional não nulo preserva a irracionalidade, logo \sqrt{2} é irracional e não pode igualar nenhuma razão q/p com p,q\in\mathbb{Z}.
  • Portanto não existem inteiros p,q tais que pT_1=qT_2. Isso impede a existência de qualquer período T>0 comum às duas parcelas.
Logo a soma x(t)=3\cos(\sqrt{2}\,t)+7\cos(2t) não admite período positivo comum; isto é, x não é periódica.

Passo 5

Resumo didático e dica para a prova (um toque de amigo):
  • Regra prática para provas: quando tiver soma de senos/cossenos, calcule as frequências angulares \omega_i ou os períodos T_i. A soma é periódica somente se todas as razões \omega_i/\omega_j (ou T_i/T_j) forem racionais. Se aparecer uma raiz irracional (como \sqrt{2}), isso geralmente indica que a função não é periódica.
  • Não se esqueça: \cos(\omega t) tem período 2\pi/\omega. Guardar isso resolve muita questão rápido.

Resposta

x(t) não é periódica.

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