6.59. Determine a maior tensão de flexão desenvolvida no elemento se ele for submetido a um momento fletor interno M=40 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a maior tensão de flexão desenvolvida no elemento quando submetido a um momento fletor interno M=40\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
Informações fornecidas (peguei estes valores da imagem):
  • Placa base (flange inferior): largura 100\\ \mathrm{mm} (sendo 50\\ \mathrm{mm} para cada lado), espessura 10\\ \mathrm{mm}.
  • Alma (web) vertical: altura 180\\ \mathrm{mm}, espessura 10\\ \mathrm{mm}.
  • Barra circular no topo: diâmetro 30\\ \mathrm{mm} (logo raio r=15\\ \mathrm{mm}), figura mostra a barra apoiada centrada sobre a alma e tangente à sua extremidade superior.
  • Espessura da flange e da alma ambas 10\\ \mathrm{mm} (peguei esse dado da imagem).
  • Momento aplicado: M=40\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Objetivo numérico que vamos alcançar:
  • Calcular o centroide da seção composta, o momento de inércia em relação ao eixo neutro e, por fim, a tensão máxima de flexão usando \sigma=\dfrac{M\,c}{I}, determinando qual fibra (topo ou fundo) é a mais solicitada.

Passo 2

Escolha do sistema de referência e conversão de unidades — passo prático e importante.
  • Vou medir todas as distâncias em milímetros e áreas em \mathrm{mm}^2. Isso porque as dimensões da peça estão em milímetros; depois converto o momento M para \mathrm{N\cdot mm}.
  • Converter M:
M = 40\\ \mathrm{kN\cdot m} = 40\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = 40\,000\times 1000\\ \mathrm{N\cdot mm} = 40\,000\,000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Escolho a linha de referência y=0 na face inferior da flange (a face mais baixa da peça) e calcularei as posições dos centroides das partes a partir daí.

Passo 3

Calcular áreas e posições dos centroides das partes (retângulos e círculo).
Partes consideradas:
  1. Flange inferior (retângulo): largura b_1=100\\ \mathrm{mm}, espessura t_1=10\\ \mathrm{mm}.
  2. Alma (retângulo vertical): largura b_2=10\\ \mathrm{mm}, altura h_2=180\\ \mathrm{mm}.
  3. Barra circular (círculo sólido): raio r=15\\ \mathrm{mm}.
Áreas:
A_1 = b_1 t_1 = 100\cdot 10 = 1000\\ \mathrm{mm}^2,
A_2 = b_2 h_2 = 10\cdot 180 = 1800\\ \mathrm{mm}^2,
A_3 = \pi r^2 = \pi\cdot 15^2 = 225\pi \\ \mathrm{mm}^2 \approx 706{,}858\\ \mathrm{mm}^2.
Posições dos centroides medidos a partir da face inferior da flange ( y=0):
  • Flange: espessura 10\\ \mathrm{mm}, centro em y_1=5\\ \mathrm{mm}.
  • Alma: começa sobre a flange, então sua base está em y=10\\ \mathrm{mm} e topo em y=10+180=190\\ \mathrm{mm}; centro em
y_2 = 10 + \frac{180}{2} = 100\\ \mathrm{mm}.
  • Barra circular: tangente ao topo da alma, centro da barra em
y_3 = 190 + 15 = 205\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular o centroide da seção composta usando média ponderada pelas áreas.
Fórmula:
\bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}.
Numerador:
A_1 y_1 = 1000\cdot 5 = 5000,
A_2 y_2 = 1800\cdot 100 = 180\,000,
A_3 y_3 = 225\pi \cdot 205 \approx 706{,}858\cdot 205 \approx 144\,905{,}9.
Soma áreas:
A_\text{tot}=1000+1800+225\pi \approx 1000+1800+706{,}858 = 3\,506{,}858\\ \mathrm{mm}^2.
Soma do momento estático:
\sum A_i y_i \approx 5\,000 + 180\,000 + 144\,905{,}9 = 329\,905{,}9.
Logo o centroide é
\bar{y}=\frac{329\,905{,}9}{3\,506{,}858}\\ \mathrm{mm} \approx 94{,}12\\ \mathrm{mm}.
Interpretação rápida: o neutro está a 94{,}12\\ \mathrm{mm} acima da face inferior da flange.

Passo 5

Cálculo dos momentos de inércia centrais de cada peça (em relação ao eixo horizontal que passa pelo centro de cada peça) e aplicação do teorema dos eixos paralelos.
Formulário útil (vou explicar cada termo):
  • Para um retângulo de largura b (paralela ao eixo x) e altura h (na direção y): momento de inércia em torno do eixo centroidal horizontal é \displaystyle I_\text{ret}=\frac{b h^3}{12}. Aqui b é a dimensão paralela ao eixo neutro (no nosso caso a largura ou espessura vista de cima) e h é a dimensão em direção à flexão (vertical).
  • Para um círculo sólido de raio r: momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa pelo seu centro é \displaystyle I_\text{círc}=\frac{\pi r^4}{4}í.
  • Teorema dos eixos paralelos: se um corpo tem área A e momento de inércia centroidal I_c, e queremos o momento de inércia em torno de um eixo paralelo deslocado uma distância d, então I=I_c + A d^2.
Calculemos cada I_c e os termos A d^2 (distâncias d_i=|y_i-\bar{y}|).
Momentos de inércia centroidais:
  • Flange (retângulo com b_1=100, h_1=10):
I_{1c}=\frac{b_1 h_1^3}{12}=\frac{100\cdot 10^3}{12}= \frac{100\cdot 1000}{12}=8\,333{,}333\\ \mathrm{mm}^4.
  • Alma (retângulo com b_2=10, h_2=180):
I_{2c}=\frac{b_2 h_2^3}{12}=\frac{10\cdot 180^3}{12}=\frac{10\cdot 5\,832\,000}{12}=4\,860\,000\\ \mathrm{mm}^4.
  • Barra circular (raio 15\\ \mathrm{mm}):
I_{3c}=\frac{\pi r^4}{4}=\frac{\pi\cdot 15^4}{4}=\frac{\pi\cdot 50\,625}{4}\approx 39\,760{,}83\\ \mathrm{mm}^4.
Distâncias d_i:
d_1 = \bar{y}-y_1 = 94{,}12-5 = 89{,}12\\ \mathrm{mm},
d_2 = \bar{y}-y_2 = 94{,}12-100 = -5{,}88\\ \mathrm{mm}\quad(\text{usa-se }d_2^2=5{,}88^2),
d_3 = y_3-\bar{y} = 205-94{,}12 = 110{,}88\\ \mathrm{mm}.
Termos de eixo paralelo A_i d_i^2:
A_1 d_1^2 = 1000\cdot 89{,}12^2 \approx 7\,952\,640\\ \mathrm{mm}^4,
A_2 d_2^2 = 1800\cdot 5{,}88^2 \approx 62\,233\\ \mathrm{mm}^4,
A_3 d_3^2 \approx 706{,}858\cdot 110{,}88^2 \approx 8\,690\,382\\ \mathrm{mm}^4.
Somando tudo:
I_\text{total} = \sum (I_{c,i} + A_i d_i^2)
I_\text{total}\approx (8\,333{,}33 + 4\,860\,000 + 39\,760{,}83) + (7\,952\,640 + 62\,233 + 8\,690\,382).
Primeiro parêntese (somas de I_{c,i}):
I_{c,\text{sum}}\approx 4\,908\,094{,}16\\ \mathrm{mm}^4.
Segundo parêntese (somas de A d^2):
\sum A_i d_i^2 \approx 16\,705\,255\\ \mathrm{mm}^4.
Logo
I_\text{total}\approx 4\,908\,094{,}16 + 16\,705\,255 = 21\,613\,349{,}16\\ \mathrm{mm}^4 \approx 2{,}1613\times 10^{7}\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 6

Determinar a fibra mais afastada (valor de c) e aplicar a fórmula da tensão de flexão.
  • Distância da linha neutra para a fibra inferior (fundo da flange): c_\text{inf}=\bar{y}-0 = 94{,}12\\ \mathrm{mm}.
  • Distância para a fibra superior (topo da barra circular): topo da barra em y_\text{top}=y_3 + r = 205 + 15 = 220\\ \mathrm{mm}. Então
c_\text{sup}=y_\text{top}-\bar{y} = 220 - 94{,}12 = 125{,}88\\ \mathrm{mm}.
A maior distância é c_\text{sup}=125{,}88\\ \mathrm{mm}, portanto a maior tensão de flexão ocorrerá no topo da barra circular.
Fórmula da tensão de flexão (módulo):
\sigma_\text{max} = \frac{M\,c_\text{máx}}{I_\text{total}}.á
Substituindo:
M = 40\,000\,000\\ \mathrm{N\cdot mm},\quad c_\text{máx}=125{,}88\\ \mathrm{mm},\quad I_\text{total}\approx 21\,613\,349{,}16\\ \mathrm{mm}^4.á
Cálculo:
\sigma_\text{max}\approx \frac{40\,000\,000\cdot 125{,}88}{21\,613\,349{,}16}\\ \mathrm{N/mm}^2 \approx 233{,}0\\ \mathrm{N/mm}^2.
Interpretação: \mathrm{N/mm}^2 é a mesma unidade de \mathrm{MPa}. O topo da barra circular estará sob tração (ou compressão), dependendo do sentido do momento; aqui fornecemos o valor absoluto da tensão de flexão máxima: \approx 233{,}0\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\displaystyle 233{,}0\\ \mathrm{MPa}

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