*3.104 Uma esfera de raio
, feita de material com densidade relativa SG, está submersa num tanque com água. A esfera repousa sobre um orifício, de raio
, no fundo do tanque. Desenvolva uma expressão geral para a faixa de densidades relativas para as quais a esfera subirá à tona. Para as dimensões dadas, determine a densidade relativa mínima necessária para a esfera permanecer na posição mostrada.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei esses números da imagem):
- Pedidos:
- Desenvolver uma expressão geral para a faixa de densidades relativas (
SG ) para as quais a esfera subirá à tona. - Para as dimensões dadas, determinar a densidade relativa mínima necessária para a esfera permanecer na posição mostrada.
- Desenvolver uma expressão geral para a faixa de densidades relativas (
- Dados (retirados da imagem):
- raio da esfera:
, - raio do orifício:
, - altura da superfície livre até o fundo (plano do orifício):
.
- raio da esfera:
Passo 2
Conceitos importantes (mini-aula):
- Pressão hidrostática: a pressão em uma profundidade
abaixo da superfície livre é
onde
é a pressão atmosférica,
é a densidade do fluido (água), e
é a aceleração da gravidade. Aqui só interessa a parte variável com a profundidade,
, porque as pressões atmosféricas se cancelam nas forças verticais quando apropriado.
- Força de empuxo (Princípio de Arquimedes): a força vertical resultante do fluido sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado:
onde
.
- Interpretação para este problema: além do empuxo e do peso da esfera, existe uma força descendente adicional transmitida pela pressão hidrostática atuando sobre a área do orifício (porque a pressão no plano do orifício é maior que a pressão atmosférica por uma quantidade
). Essa força descendente vale multiplicada pela área do orifício.
Passo 3
Identificação das forças verticais agindo na esfera e condição de separação:
- Forças verticais (sinal positivo para cima):
- Empuxo:
(para esfera completamente imersa). - Peso da esfera (para baixo):
, onde densidade da esfera. - Força descendente transmitida pelo orifício (pressão no plano do orifício menos pressão externa):
. Essa é uma força para baixo aplicada sobre a região do orifício e transmitida à esfera pelo batente.
- Empuxo:
- Situação de arrancamento (limiar em que a esfera começa a subir): a força normal de contato no batente passa a zero; a condição de equilíbrio vertical neste instante é que o empuxo seja igual à soma do peso mais a força descendente do orifício:
Passo 4
Montagem da equação e isolamento de
SG
(densidade relativa):
- Escrevendo
SG , e substituindo as expressões:
- Cancelando
em ambos os lados e rearranjando:
- Isolando
SG :
- Interpretação da expressão: a esfera subirá à tona quando a sua densidade relativa for menor que esse valor. Assim, a faixa de densidades relativas para as quais a esfera subirá é
(Claro que fisicamente
SG
. Se o lado direito for negativo, não há SG positiva que satisfaça, significando que a esfera nunca sobe por empuxo; se o lado direito for maior que 1, então qualquer esfera com
SG
sobe, como no caso sem orifício.)
Passo 5
Cálculo numérico para as dimensões dadas (conversão de unidades):
- Converter
para polegadas: - Calcular o termo subtraído:
- Passo a passo:
-
-
- Dividindo por
:
-
- Portanto
- Interpretação numérica: a esfera subirá para a superfície se
SG . Para permanecer na posição mostrada, a densidade relativa da esfera deve ser pelo menos SG .