*3.104 Uma esfera de raio R, feita de material com densidade relativa SG, está submersa num tanque com água. A esfera repousa sobre um orifício, de raio a, no fundo do tanque. Desenvolva uma expressão geral para a faixa de densidades relativas para as quais a esfera subirá à tona. Para as dimensões dadas, determine a densidade relativa mínima necessária para a esfera permanecer na posição mostrada.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei esses números da imagem):
  • Pedidos:
    • Desenvolver uma expressão geral para a faixa de densidades relativas ( SG ) para as quais a esfera subirá à tona.
    • Para as dimensões dadas, determinar a densidade relativa mínima necessária para a esfera permanecer na posição mostrada.
  • Dados (retirados da imagem):
    • raio da esfera: R = 1\\ \text{in},
    • raio do orifício: a = 0{,}075\\ \text{in},
    • altura da superfície livre até o fundo (plano do orifício): H = 2{,}5\\ \text{ft}.

Passo 2

Conceitos importantes (mini-aula):
  • Pressão hidrostática: a pressão em uma profundidade z abaixo da superfície livre é
p = p_{\text{atm}} + \rho_f g z,
onde p_{\text{atm}} é a pressão atmosférica, \rho_f é a densidade do fluido (água), e g é a aceleração da gravidade. Aqui só interessa a parte variável com a profundidade, \rho_f g z, porque as pressões atmosféricas se cancelam nas forças verticais quando apropriado.
  • Força de empuxo (Princípio de Arquimedes): a força vertical resultante do fluido sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado:
B = \rho_f g V_{\text{esfera}},
onde V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3.
  • Interpretação para este problema: além do empuxo e do peso da esfera, existe uma força descendente adicional transmitida pela pressão hidrostática atuando sobre a área do orifício (porque a pressão no plano do orifício é maior que a pressão atmosférica por uma quantidade \rho_f g H). Essa força descendente vale \rho_f g H multiplicada pela área do orifício.

Passo 3

Identificação das forças verticais agindo na esfera e condição de separação:
  • Forças verticais (sinal positivo para cima):
    • Empuxo: B = \rho_f g \dfrac{4}{3}\pi R^3 (para esfera completamente imersa).
    • Peso da esfera (para baixo): W = \rho_s g \dfrac{4}{3}\pi R^3, onde \rho_s = densidade da esfera.
    • Força descendente transmitida pelo orifício (pressão no plano do orifício menos pressão externa): F_{\text{orif}} = (\rho_f g H)\cdot (\pi a^2). Essa é uma força para baixo aplicada sobre a região do orifício e transmitida à esfera pelo batente.
  • Situação de arrancamento (limiar em que a esfera começa a subir): a força normal de contato no batente passa a zero; a condição de equilíbrio vertical neste instante é que o empuxo seja igual à soma do peso mais a força descendente do orifício:
B = W + F_{\text{orif}}.

Passo 4

Montagem da equação e isolamento de SG (densidade relativa):
  • Escrevendo SG = \dfrac{\rho_s}{\rho_f}, e substituindo as expressões:
\rho_f g \frac{4}{3}\pi R^3 = \rho_s g \frac{4}{3}\pi R^3 + \rho_f g H \pi a^2.
  • Cancelando \rho_f g \pi em ambos os lados e rearranjando:
\frac{4}{3}R^3 = \text{SG}\,\frac{4}{3}R^3 + H a^2.
  • Isolando SG :
\text{SG} = 1 - \frac{3 H a^2}{4 R^3}.
  • Interpretação da expressão: a esfera subirá à tona quando a sua densidade relativa for menor que esse valor. Assim, a faixa de densidades relativas para as quais a esfera subirá é
0 \le \text{SG} < 1 - \frac{3 H a^2}{4 R^3}.
(Claro que fisicamente SG \ge 0. Se o lado direito for negativo, não há SG positiva que satisfaça, significando que a esfera nunca sobe por empuxo; se o lado direito for maior que 1, então qualquer esfera com SG <1 sobe, como no caso sem orifício.)

Passo 5

Cálculo numérico para as dimensões dadas (conversão de unidades):
  • Converter H para polegadas: H = 2{,}5\\ \text{ft} = 30\\ \text{in}.
  • Calcular o termo subtraído:
\frac{3 H a^2}{4 R^3} = \frac{3 \cdot 30 \cdot (0{,}075)^2}{4\cdot 1^3}.
  • Passo a passo:
    • a^2 = (0{,}075)^2 = 0{,}005625.
    • 3 H a^2 = 3\cdot 30 \cdot 0{,}005625 = 0{,}50625.
    • Dividindo por 4 R^3 = 4: \dfrac{0{,}50625}{4} = 0{,}1265625.
  • Portanto
\text{SG}_{\text{lim}} = 1 - 0{,}1265625 = 0{,}8734375 \approx 0{,}8734.
  • Interpretação numérica: a esfera subirá para a superfície se SG < 0{,}8734. Para permanecer na posição mostrada, a densidade relativa da esfera deve ser pelo menos SG \approx 0{,}8734.

Resposta

\text{A esfera sobe se } \displaystyle \text{SG} < 1 - \frac{3 H a^2}{4 R^3}.\n
\text{Para os valores dados: } \displaystyle \text{SG}_{\min} = 1 - \frac{3(30\\ \text{in})(0{,}075\\ \text{in})^2}{4(1\\ \text{in})^3} \approx 0{,}8734.

Exercícios relacionados