A vazão (Q) de um orifício de 30 cm de diâmetro (D) sob uma carga estática (H) de 3,6 \mathrm{~m} é igual a 550 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. Um modelo em escala de 1:12 deve ser testado de modo que haja completa similaridade dinâmica com o protótipo. O líquido usado para o teste possui uma densidade igual a 1,4 e os efeitos de tensão superficial são desprezados. Estudos prévios deram como resultado que os grupos adimensionais são: \frac{Q}{\left(H^{5} g\right)^{1 / 2}}, \frac{\mu}{\rho\left(H^{3} g\right)^{1 / 2}} e \frac{D}{H}
Calcule a vazão necessária no modelo . Qual é a viscosidade do líquido que será usado no modelo? Qual poderia ser este líquido? Se necessário, refaça os cálculos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do protótipo (peguei estes valores do enunciado):
  • Diâmetro do orifício: D_p=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Carga estática: H_p=3{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Vazão do protótipo: Q_p=550\\ \mathrm{L/s}=0{,}550\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Temperatura da água no protótipo: 20^\circ\mathrm{C} (usarei propriedades da água a 20^\circ\mathrm{C}).
  • Densidade do líquido de teste (modelo) fornecida no enunciado: \rho_m=1{,}4 (interpreto isto como razão adimensional em relação à água, isto é \rho_m=1{,}4\times 1000\\ \mathrm{kg/m^3}=1400\\ \mathrm{kg/m^3}). Se a intenção fosse outra unidade, os cálculos teriam que ser refeitos.
Grupos adimensionais fornecidos (devem ser iguais para protótipo e modelo para completa similaridade dinâmica):
  • \displaystyle \Pi_1=\frac{Q}{\sqrt{H^{5} g}}
  • \displaystyle \Pi_2=\frac{\mu}{\rho\sqrt{H^{3} g}}
  • \displaystyle \Pi_3=\frac{D}{H}
Escala linear do modelo: 1:12. Logo o fator linear (razão comprimento) é
\lambda=\frac{L_m}{L_p}=\frac{1}{12}.
O que o enunciado pede:
  1. Calcular a vazão necessária no modelo Q_m.
  2. Calcular a viscosidade dinâmica do líquido que será usado no modelo \mu_m (assegurando \Pi_2 igual).
  3. Sugerir qual poderia ser este líquido (avaliar se existe um fluido prático com as propriedades requeridas).

Passo 2

Entendendo os princípios de similaridade que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Para completa similaridade dinâmica devemos garantir que todos os grupos adimensionais iguais entre protótipo (subíndice p) e modelo (subíndice m):
\Pi_{1,m}=\Pi_{1,p},\qquad \Pi_{2,m}=\Pi_{2,p},\qquad \Pi_{3,m}=\Pi_{3,p}.
  • Geometricamente, com escala 1:12 mantemos as razões lineares: H_m=\lambda H_p e D_m=\lambda D_p. Assim \Pi_3=D/H fica automaticamente igual.
  • A igualdade de \Pi_1 dará a lei de escala para a vazão Q.
  • A igualdade de \Pi_2 nos dará a lei de escala para a viscosidade dinâmica \mu.
  • Propriedades usadas (tabeladas):
    • Densidade da água a 20^\circ\mathrm{C}: \rho_p=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Viscosidade dinâmica da água a 20^\circ\mathrm{C}: \mu_p\approx 1{,}002\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} (aparecerá nas expressões, mas em razões muitas vezes cancela).

Passo 3

Escala geométrica explícita e valores do modelo:
\lambda=\frac{1}{12},\qquad H_m=\lambda H_p=\frac{1}{12}\cdot 3{,}6\\ \mathrm{m}=0{,}30\\ \mathrm{m},
D_m=\lambda D_p=\frac{1}{12}\cdot 0{,}30\\ \mathrm{m}=0{,}025\\ \mathrm{m}=2{,}5\\ \mathrm{cm}.
(Confirmação: \dfrac{D_p}{H_p}=\dfrac{0{,}30}{3{,}6}=\dfrac{1}{12} e \dfrac{D_m}{H_m}=\dfrac{0{,}025}{0{,}30}=\dfrac{1}{12}, logo \Pi_3 é igual.)

Passo 4

Cálculo da vazão do modelo usando \Pi_1.
Igualdade de \Pi_1:
\frac{Q_m}{\sqrt{H_m^{5}g}}=\frac{Q_p}{\sqrt{H_p^{5}g}}.
Isolando Q_m:
Q_m = Q_p\\ \sqrt{\frac{H_m^{5}g}{H_p^{5}g}} = Q_p\left(\frac{H_m}{H_p}\right)^{5/2}.
Substituindo \dfrac{H_m}{H_p}=\lambda=\dfrac{1}{12} e Q_p=0{,}550\\ \mathrm{m^3/s}:
Q_m = 0{,}550\\ \mathrm{m^3/s}\times\left(\frac{1}{12}\right)^{5/2}.
Calculemos passo a passo:
12^{5/2}=12^{2{,}5}=144\sqrt{12}\approx 144\times 3{,}4641016\approx 499{,}41,
logo
\left(\frac{1}{12}\right)^{5/2}\approx \frac{1}{499{,}41}\approx 0{,}0020024.
Portanto
Q_m\approx 0{,}550\times 0{,}0020024\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0{,}0011013\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q_m\approx 1{,}1013\\ \mathrm{L/s}\approx 1{,}10\\ \mathrm{L/s}.
Interpretação prática: o modelo precisa de uma vazão da ordem de 1{,}1\\ \mathrm{L/s}.

Passo 5

Cálculo da viscosidade necessária no modelo usando \Pi_2.
Igualdade de \Pi_2:
\frac{\mu_m}{\rho_m\sqrt{H_m^{3}g}}=\frac{\mu_p}{\rho_p\sqrt{H_p^{3}g}}.
Isolando \mu_m:
\mu_m = \mu_p\\ \frac{\rho_m}{\rho_p}\\ \sqrt{\frac{H_m^{3}}{H_p^{3}}} = \mu_p\\ \frac{\rho_m}{\rho_p}\left(\frac{H_m}{H_p}\right)^{3/2}.
Substituindo \dfrac{H_m}{H_p}=\dfrac{1}{12}, \mu_p=1{,}002\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, \rho_p=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e \rho_m=1{,}4\times 1000=1400\\ \mathrm{kg/m^3}:
\mu_m = 1{,}002\times 10^{-3}\times\frac{1400}{1000}\times\left(\frac{1}{12}\right)^{3/2}.
Calculemos os fatores:
\left(\frac{1}{12}\right)^{3/2}=\frac{1}{12^{1{,}5}}=\frac{1}{12\sqrt{12}}\approx \frac{1}{41{,}569219}\approx 0{,}024055.
Então
\mu_m \approx 1{,}002\times 10^{-3}\times 1{,}4\times 0{,}024055 \approx 1{,}002\times 10^{-3}\times 0{,}0336768 \approx 3{,}37\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Resultado numérico:
\mu_m\approx 3{,}37\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 6

Interpretação física da viscosidade encontrada e discussão sobre qual líquido poderia ser usado (sempre com tom prático).
  • A viscosidade calculada para o modelo, \mu_m\approx 3{,}37\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, é MUITO baixa: é menor que a viscosidade dinâmica da água ( \approx 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}) por um fator ~30, e é da mesma ordem de grandeza das viscosidades de gases (por exemplo, ar a 20^\circ\mathrm{C} tem \mu\approx 1{,}8\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}). Porém o enunciado exige também densidade \rho_m\approx 1400\\ \mathrm{kg/m^3}, o que é típico de líquidos pesados, não de gases.
  • Na prática não existe (entre os líquidos de uso corrente à temperatura ambiente) um líquido com densidade tão alta ( \sim 1400\\ \mathrm{kg/m^3}) e viscosidade tão baixa ( \sim 3{,}4\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}). Exemplos:
    • Água: \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu\approx 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Óleos e solventes orgânicos: tipicamente \mu\gtrsim 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (muitos são mais viscosos que a água).
    • Gases (ar, hélio): têm viscosidades da ordem 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} mas densidades muito pequenas (ordem 10^{-1} a 10^{0}\\ \mathrm{kg/m^3}), não \sim 1400.
    • Metais líquidos (por exemplo sódio fundido, mercúrio): têm densidades altas, mas viscosidades tipicamente maiores que 10^{-4} 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Conclusão prática: não há um líquido real disponível à temperatura ambiente que satisfaça simultaneamente \rho_m\approx 1400\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu_m\approx 3{,}4\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Logo a completa similaridade dinâmica, exigindo igualdade simultânea de \Pi_1 e \Pi_2 com esse valor de densidade, é praticamente inviável com líquidos comuns.
Alternativas práticas (recomendações):
  1. Ajustar a escala do modelo (usar escala maior) para que o fator (H_m/H_p)^{3/2} não force uma viscosidade tão pequena; isto pode tornar \mu_m compatível com líquidos reais.
  2. Aceitar similaridade apenas de Froude (ou seja, forçar \Pi_1 e \Pi_3) e não a igualdade exata de \Pi_2; muitos experimentos hidrodinâmicos de escoamentos com superfície livre usam a similitude de Froude como prioritária e aceitam diferença no número de Reynolds, tratando os efeitos viscosos empiricamente.
  3. Se for imperativo igualar \Pi_2 também, considerar usar um fluido com densidade diferente e ajustar outra variável (por exemplo temperatura para reduzir viscosidade), porém é improvável alcançar a combinação necessária.
  4. Se quiser uma aproximação, usar um gás pressurizado poderia dar viscosidade na faixa desejada, mas a densidade ainda dificilmente seria \sim 1400\\ \mathrm{kg/m^3} — isso exigiria pressões extremamente altas e equipamento especial.

Resposta

Q_m\approx 1{,}10\\ \mathrm{L/s}
\mu_m\approx 3{,}37\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
Não existe um líquido comum à temperatura ambiente com \rho\approx 1400\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu\approx 3{,}4\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}; portanto a completa similaridade dinâmica, nas condições dadas, é impraticável. Recomenda-se alterar a escala ou aceitar apenas similitude de Froude (não igualar \Pi_2).

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