A vazão (Q) de um orifício de 30 cm de diâmetro (D) sob uma carga estática (H) de
é igual a
de água a
. Um modelo em escala de 1:12 deve ser testado de modo que haja completa similaridade dinâmica com o protótipo. O líquido usado para o teste possui uma densidade igual a 1,4 e os efeitos de tensão superficial são desprezados. Estudos prévios deram como resultado que os grupos adimensionais são:
e
Calcule a vazão necessária no modelo . Qual é a viscosidade do líquido que será usado no modelo? Qual poderia ser este líquido? Se necessário, refaça os cálculos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do protótipo (peguei estes valores do enunciado):
- Diâmetro do orifício:
. - Carga estática:
. - Vazão do protótipo:
. - Temperatura da água no protótipo:
(usarei propriedades da água a ). - Densidade do líquido de teste (modelo) fornecida no enunciado:
(interpreto isto como razão adimensional em relação à água, isto é ). Se a intenção fosse outra unidade, os cálculos teriam que ser refeitos.
Grupos adimensionais fornecidos (devem ser iguais para protótipo e modelo para completa similaridade dinâmica):
Escala linear do modelo:
. Logo o fator linear (razão comprimento) é
O que o enunciado pede:
- Calcular a vazão necessária no modelo
. - Calcular a viscosidade dinâmica do líquido que será usado no modelo
(assegurando igual). - Sugerir qual poderia ser este líquido (avaliar se existe um fluido prático com as propriedades requeridas).
Passo 2
Entendendo os princípios de similaridade que vamos usar (aula rápida e prática).
- Para completa similaridade dinâmica devemos garantir que todos os grupos adimensionais iguais entre protótipo (subíndice
) e modelo (subíndice ):
- Geometricamente, com escala
mantemos as razões lineares: e . Assim fica automaticamente igual. - A igualdade de
dará a lei de escala para a vazão . - A igualdade de
nos dará a lei de escala para a viscosidade dinâmica . - Propriedades usadas (tabeladas):
- Densidade da água a
: . - Viscosidade dinâmica da água a
: . - Aceleração da gravidade:
(aparecerá nas expressões, mas em razões muitas vezes cancela).
- Densidade da água a
Passo 3
Escala geométrica explícita e valores do modelo:
(Confirmação:
e
, logo
é igual.)
Passo 4
Cálculo da vazão do modelo usando
.
Igualdade de
:
Isolando
:
Substituindo
e
:
Calculemos passo a passo:
logo
Portanto
Convertendo para litros por segundo:
Interpretação prática: o modelo precisa de uma vazão da ordem de
.
Passo 5
Cálculo da viscosidade necessária no modelo usando
.
Igualdade de
:
Isolando
:
Substituindo
,
,
e
:
Calculemos os fatores:
Então
Resultado numérico:
Passo 6
Interpretação física da viscosidade encontrada e discussão sobre qual líquido poderia ser usado (sempre com tom prático).
- A viscosidade calculada para o modelo,
, é MUITO baixa: é menor que a viscosidade dinâmica da água ( ) por um fator ~30, e é da mesma ordem de grandeza das viscosidades de gases (por exemplo, ar a tem ). Porém o enunciado exige também densidade , o que é típico de líquidos pesados, não de gases. - Na prática não existe (entre os líquidos de uso corrente à temperatura ambiente) um líquido com densidade tão alta (
) e viscosidade tão baixa ( ). Exemplos: - Água:
, . - Óleos e solventes orgânicos: tipicamente
(muitos são mais viscosos que a água). - Gases (ar, hélio): têm viscosidades da ordem
mas densidades muito pequenas (ordem a ), não . - Metais líquidos (por exemplo sódio fundido, mercúrio): têm densidades altas, mas viscosidades tipicamente maiores que
– .
- Água:
- Conclusão prática: não há um líquido real disponível à temperatura ambiente que satisfaça simultaneamente
e . Logo a completa similaridade dinâmica, exigindo igualdade simultânea de e com esse valor de densidade, é praticamente inviável com líquidos comuns.
Alternativas práticas (recomendações):
- Ajustar a escala do modelo (usar escala maior) para que o fator
não force uma viscosidade tão pequena; isto pode tornar compatível com líquidos reais. - Aceitar similaridade apenas de Froude (ou seja, forçar
e ) e não a igualdade exata de ; muitos experimentos hidrodinâmicos de escoamentos com superfície livre usam a similitude de Froude como prioritária e aceitam diferença no número de Reynolds, tratando os efeitos viscosos empiricamente. - Se for imperativo igualar
também, considerar usar um fluido com densidade diferente e ajustar outra variável (por exemplo temperatura para reduzir viscosidade), porém é improvável alcançar a combinação necessária. - Se quiser uma aproximação, usar um gás pressurizado poderia dar viscosidade na faixa desejada, mas a densidade ainda dificilmente seria
— isso exigiria pressões extremamente altas e equipamento especial.
Resposta
Não existe um líquido comum à temperatura ambiente com