P2.20. Uma fenda vertical, de largura igual a 25,4 \mathrm{~mm} e com extensão infinita, contém óleo de densidade igual a d_{\text {óleo }}=0,95 \mathrm{e}ó viscosidade absoluta \mu=2,4 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}. Uma placa metálica, medindo 1,524 \mathrm{~m} \times 1,524 \mathrm{m} \times 1,5 \mathrm{~mm} e de massa m=4,53 \mathrm{~kg}, é içada através da fenda com velocidade constante V_{0}=0,06 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Estimar a força necessária para manter o movimento.
Resposta: \tau_{c i s}=\mu \cdot \frac{d u}{d y} \operatorname{com} d y=(25,4-1,5) / 2 \mathrm{~mm}=11,95 \mathrm{~mm}, d u= 0,06 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \tau_{c i s}=12,05 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} ; F=\tau_{c i s} 2 A (cada lado da placa) =56 \mathrm{~N}.

Passo 1

O enunciado pede: estimar a força necessária para manter a placa se movendo para cima com velocidade constante V_0 através da fenda cheia de óleo.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • largura da fenda: 25{,}4\\ \text{mm}.
  • espessura da placa: 1{,}5\\ \text{mm}.
  • viscosidade absoluta do óleo: \mu=2{,}4\\ \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^{2}.
  • densidade do óleo: d_{\text{oíl}}=0{,}95í (interpreto isso como 0{,}95\\ \text{g}/\text{cm}^3=950\\ \text{kg}/\text{m}^3).
  • dimensões da placa (área frontal): 1{,}524\\ \text{m}\times 1{,}524\\ \text{m}.
  • massa da placa: m=4{,}53\\ \text{kg}.
  • velocidade de subida: V_0=0{,}06\\ \text{m}/\text{s}.
Primeiras conversões e cálculo do vão (peguei as dimensões do enunciado):
  • gap em cada lado entre placa e parede da fenda:
h=\frac{25{,}4-1{,}5}{2}\\ \text{mm}=11{,}95\\ \text{mm}=0{,}01195\\ \text{m}.
  • área de cada face da placa:
A=1{,}524\times1{,}524=2{,}322576\\ \text{m}^2.
Assunções (importante explicitar):
  • fluxo viscoso e laminar no gap; perfil de velocidade aproximadamente linear (escoamento tipo Couette) porque o gap é pequeno e as superfícies são planas.
  • efeitos de extremidade (topo/rodapé da placa) e efeitos turbulentos são desprezíveis.
  • placa totalmente imersa no óleo (para considerar empuxo).

Passo 2

Explicação da física básica que vamos usar (aula rápida e prática).
A força viscosa por unidade de área (tensão de cisalhamento) para um escoamento viscoso newtoniano é dada por
\tau=\mu\frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (em \text{N}/\text{m}^2),
  • \mu é a viscosidade dinâmica (aqui \mu=2{,}4\\ \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2),
  • du/dy é o gradiente de velocidade perpendicular à superfície (velocidade relativa dividida pela distância entre superfícies).
No nosso caso simples de Couette (placa movendo-se com velocidade V_0 e a parede estacionária), du é V_0 e dy é o gap h, logo aproximamos
\frac{du}{dy}\approx\frac{V_0-0}{h}=\frac{V_0}{h}.
A força viscosa total que a placa sente é a tensão multiplicada pela área de contato de cada face; como há duas faces (esquerda e direita) multiplicamos por 2:
F_{\text{viscosa}}=\tau\cdot 2A.
Além disso, como a placa está sendo deslocada verticalmente, é preciso equilibrar peso e empuxo (Archimedes). Peso:
W=mg.
Empuxo:
F_{\text{empuxo}}=\rho_{\text{óleo}}\,V_{\text{submerso}}\,g,ó
onde V_{\text{submerso}} é o volume da placa (área \times espessura). O resultado total da força para manter movimento para cima (tensão no cabo/força de içar) deve compensar a resistência viscosa mais o peso líquido (peso menos empuxo):
F_{\text{total}}=F_{\text{viscosa}} + (W - F_{\text{empuxo}}).

Passo 3

Calcular a tensão de cisalhamento \tau.
Primeiro o gradiente:
\frac{V_0}{h}=\frac{0{,}06}{0{,}01195}\\ \text{s}^{-1}\approx 5{,}0209205\\ \text{s}^{-1}.
Então
\tau=\mu\frac{V_0}{h}=2{,}4\cdot 5{,}0209205\\ \text{N}/\text{m}^2\approx 12{,}050209\\ \text{N}/\text{m}^2.
Arredondando de forma prática:
\tau\approx 12{,}05\\ \text{N}/\text{m}^2.

Passo 4

Calcular a força viscosa total sobre a placa (duas faces).
Usando A=2{,}322576\\ \text{m}^2,
F_{\text{viscosa}}=\tau\cdot 2A \approx 12{,}050209\cdot 2\cdot 2{,}322576\\ \text{N}.
Calcule:
2A=4{,}645152\\ \text{m}^2,
F_{\text{viscosa}}\approx 12{,}050209\cdot 4{,}645152\approx 56{,}00\\ \text{N}.
Ou seja, a resistência viscosa é aproximadamente 56{,}0\\ \text{N}. (Esse valor coincide com a conta rápida do enunciado.)

Passo 5

Calcular peso, empuxo e o peso líquido que também deve ser vencido.
Peso:
W=mg=4{,}53\cdot 9{,}81\\ \text{N}\approx 44{,}4393\\ \text{N}.
Volume da placa (área vezes espessura t=1{,}5\\ \text{mm}=0{,}0015\\ \text{m}):
V_{\text{submerso}}=A\cdot t=2{,}322576\cdot 0{,}0015\\ \text{m}^3=0{,}003483864\\ \text{m}^3.
Empuxo (usando \rho_{\text{óleo}}=950\\ \text{kg}/\text{m}^3ó e g=9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2):
F_{\text{empuxo}}=\rho_{\text{óleo}}\,V_{\text{submerso}}\,g=950\cdot 0{,}003483864\cdot 9{,}81\\ \text{N}\approx 32{,}4679\\ \text{N}.ó
Peso líquido (para ser vencido para içar):
W-F_{\text{empuxo}}\approx 44{,}4393-32{,}4679\approx 11{,}9714\\ \text{N}.

Passo 6

Força total necessária para manter o movimento (somando resistência viscosa e o peso líquido):
F_{\text{total}}=F_{\text{viscosa}} + (W-F_{\text{empuxo}})\approx 56{,}00 + 11{,}9714\approx 67{,}9714\\ \text{N}.
Arredondando de forma prática:
F_{\text{total}}\approx 68{,}0\\ \text{N}.
Observação final curta: se a pergunta quisesse apenas a força para vencer o atrito viscoso (ignorando peso/empuxo), o valor é 56{,}0\\ \text{N} (como no “Resposta” dado). Incluindo sustentação da placa no fluido, a força total é cerca de 68{,}0\\ \text{N}.

Resposta

F_{\text{total}}\approx 67{,}97\\ \text{N}\\ (\approx 68{,}0\\ \text{N})

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