P2.20. Uma fenda vertical, de largura igual a
e com extensão infinita, contém óleo de densidade igual a
viscosidade absoluta
. Uma placa metálica, medindo
e de massa
, é içada através da fenda com velocidade constante
. Estimar a força necessária para manter o movimento.
Resposta:
(cada lado da placa)
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede: estimar a força necessária para manter a placa se movendo para cima com velocidade constante
através da fenda cheia de óleo.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- largura da fenda:
. - espessura da placa:
. - viscosidade absoluta do óleo:
. - densidade do óleo:
(interpreto isso como ). - dimensões da placa (área frontal):
. - massa da placa:
. - velocidade de subida:
.
Primeiras conversões e cálculo do vão (peguei as dimensões do enunciado):
- gap em cada lado entre placa e parede da fenda:
- área de cada face da placa:
Assunções (importante explicitar):
- fluxo viscoso e laminar no gap; perfil de velocidade aproximadamente linear (escoamento tipo Couette) porque o gap é pequeno e as superfícies são planas.
- efeitos de extremidade (topo/rodapé da placa) e efeitos turbulentos são desprezíveis.
- placa totalmente imersa no óleo (para considerar empuxo).
Passo 2
Explicação da física básica que vamos usar (aula rápida e prática).
A força viscosa por unidade de área (tensão de cisalhamento) para um escoamento viscoso newtoniano é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (em ), -
é a viscosidade dinâmica (aqui ), -
é o gradiente de velocidade perpendicular à superfície (velocidade relativa dividida pela distância entre superfícies).
No nosso caso simples de Couette (placa movendo-se com velocidade
e a parede estacionária),
é
e
é o gap
, logo aproximamos
A força viscosa total que a placa sente é a tensão multiplicada pela área de contato de cada face; como há duas faces (esquerda e direita) multiplicamos por 2:
Além disso, como a placa está sendo deslocada verticalmente, é preciso equilibrar peso e empuxo (Archimedes). Peso:
Empuxo:
onde
é o volume da placa (área
espessura). O resultado total da força para manter movimento para cima (tensão no cabo/força de içar) deve compensar a resistência viscosa mais o peso líquido (peso menos empuxo):
Passo 3
Calcular a tensão de cisalhamento
.
Primeiro o gradiente:
Então
Arredondando de forma prática:
Passo 4
Calcular a força viscosa total sobre a placa (duas faces).
Usando
,
Calcule:
Ou seja, a resistência viscosa é aproximadamente
. (Esse valor coincide com a conta rápida do enunciado.)
Passo 5
Calcular peso, empuxo e o peso líquido que também deve ser vencido.
Peso:
Volume da placa (área vezes espessura
):
Empuxo (usando
e
):
Peso líquido (para ser vencido para içar):
Passo 6
Força total necessária para manter o movimento (somando resistência viscosa e o peso líquido):
Arredondando de forma prática:
Observação final curta: se a pergunta quisesse apenas a força para vencer o atrito viscoso (ignorando peso/empuxo), o valor é
(como no “Resposta” dado). Incluindo sustentação da placa no fluido, a força total é cerca de
.