105 Calcule integral1^2(1x+1x^3) d x.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de 1 a 2 da função 1x + 1x^3. O conteúdo envolvido é o cálculo de integrais definidas usando antiderivadas de funções do tipo 1/x e x^n. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de antiderivada de cada parcela.

Passo 2

Para a primeira parte, sabemos que
integral 1x,dx = ln(x) + C,
e pela regra de potência temos
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C, n neq -1
Aplicando com n = -3 obtemos
integral x^-3,dx = -12x^2 + C
Portanto, a antiderivada geral da soma é
F(x) = ln(x) - 12x^2

Passo 3

Agora, a integral definida é dada por
integral1^2l(tfrac1x + tfrac1x^3r)dx = F(2) - F(1)
Calculando os valores:
F(2) = ln(2) - 12cdot 2^2 = ln(2) - tfrac18,
F(1) = ln(1) - 12cdot 1^2 = 0 - tfrac12 = -tfrac12
Subtraindo, temos
F(2) - F(1) = ln(2) - tfrac18 - l(-tfrac12r) = ln(2) + tfrac38

Resposta

ln(2) + tfrac38

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