Determine o Domínio das funções abaixo:
f(x)=raizx^2+2 xraiz[3]x-3

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar o domínio da função
f(x)=raizx^2+2xraiz[3]x-3
O domínio é o conjunto de valores de x em que f(x) está bem definida, isto é, onde o radicando da raiz quadrada é não-negativo e o denominador não se anula.

Passo 2

Impondo que o radicando da raiz quadrada seja não-negativo:
x^2+2x >= 0
Fatorando, temos x(x+2)>=0. Pela análise de sinais de um produto, isso ocorre quando x<= -2 ou x>=0. Logo,
xin(-infty,-2]cup[0,infty)

Passo 3

Agora analisamos o denominador raiz[3]x-3. A raiz cúbica está definida para todo real, mas não podemos dividir por zero. Então exigimos
raiz[3]x-3 neq 0 Longrightarrow x-3neq0 Longrightarrow xneq3

Passo 4

Para obter o domínio, intersectamos as duas condições:
  1. xin(-infty,-2]cup[0,infty) (do Passo 2)
  2. xneq3 (do Passo 3)
Retirando o ponto x=3 de [0,infty), o domínio final fica
(-infty,-2];cup;[0,3);cup;(3,infty)

Resposta

O domínio de f é
(-infty,-2]cup[0,3)cup(3,infty)

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