- A constante de velocidade de primeira ordem para a decomposição de
, de acordo com a reação:
, a
é
. Suponha que comecemos com
de
em um volume de
. Determine: (a) A quantidade de matéria de
após 2,5 min? (b) Quantos minutos serão necessários para que a quantidade de
caia para 0,010 mol? (c) A meia vida de
a
?
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Reação:
. - Constante de velocidade (ordem 1) a
: . - Quantidade inicial de
: . - Volume do sistema (constante):
. - Perguntas:
(a) Qual a quantidade de matéria deapós min?
(b) Quantos minutos para a quantidade cair até?
(c) Qual a meia-vida (half-life) dea ?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
- Para uma reação de primeira ordem a velocidade segue a lei diferencial
onde
é a concentração de reagente ao tempo
e
é a constante de velocidade. Aqui o sinal negativo indica que
diminui com o tempo.
- Integrando essa equação obtém-se a forma integrada (a que usamos na prova):
Explicando cada símbolo:
-
= concentração de no tempo . -
= concentração inicial (em ). -
= constante de velocidade (unidade de , aqui ). -
= tempo no mesmo sistema de unidades da constante (aqui em segundos). -
Observação importante: se o volume é constante, a quantidade de matéria
decai na mesma razão que a concentração, porque e é constante. Assim podemos usar a mesma expressão trocando por :
onde
e
são em mol. Essa forma evita calcular concentração se não precisamos dela.
- Outra fórmula útil (meia-vida para primeira ordem):
Aqui
é o logaritmo natural de
(aprox.
).
Passo 3
Preparando os dados numéricos e conversões de unidades (muito importante):
- Tempo pedido em (a):
minutos. Como está em , converto minutos para segundos:
- Valores que vamos usar na expressão
: -
. -
. -
.
-
Passo 4
Cálculo do item (a): quantidade de
após
min.
- Usando
substituo os valores:
- Calculo do expoente:
- Então
- Avaliando
:
- Portanto
- Interpretação: após
min sob essas condições restam cerca de mol de .
Passo 5
Cálculo do item (b): tempo necessário para que
.
- Usamos a mesma relação integrada e resolvemos para
:
Tomando logaritmo natural:
É equivalente e mais estável numericamente usar
:
- Substituo
e :
- Calculo do logaritmo:
- Agora
- Avaliando:
- Converto para minutos:
- Interpretação: são necessários aproximadamente
minutos para a quantidade cair a .
Passo 6
Cálculo do item (c): meia-vida de
(primeira ordem).
- Fórmula da meia-vida para reação de primeira ordem:
- Substituo
e :
- Avaliando:
- Converto para minutos:
- Interpretação: a meia-vida é cerca de
s, ou min.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)