1. A constante de velocidade de primeira ordem para a decomposição de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5}, de acordo com a reação: \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5}(\mathrm{~g}) \rightarrow 2 \mathrm{NO}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}), a 70^{\circ} \mathrm{C} é 6,82 \times 10^{-3} \mathrm{~s}^{-1}. Suponha que comecemos com 0,0520 \mathrm{~mol} de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} em um volume de 2,0 \mathrm{~L}. Determine: (a) A quantidade de matéria de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} após 2,5 min? (b) Quantos minutos serão necessários para que a quantidade de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} caia para 0,010 mol? (c) A meia vida de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} a 70^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Reação: \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}(\mathrm{g}) \rightarrow 2\,\mathrm{NO}_{2}(\mathrm{g}) + \mathrm{O}_{2}(\mathrm{g}).
  • Constante de velocidade (ordem 1) a 70^\circ\mathrm{C}: k = 6{,}82\times 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Quantidade inicial de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}: n_0 = 0{,}0520\\ \mathrm{mol}.
  • Volume do sistema (constante): V = 2{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Perguntas:
    (a) Qual a quantidade de matéria de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5} após 2{,}5 min?
    (b) Quantos minutos para a quantidade cair até 0{,}010\\ \mathrm{mol}?
    (c) Qual a meia-vida (half-life) de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5} a 70^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • Para uma reação de primeira ordem a velocidade segue a lei diferencial
-\frac{d[A]}{dt} = k [A],
onde [A] é a concentração de reagente ao tempo t e k é a constante de velocidade. Aqui o sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo.
  • Integrando essa equação obtém-se a forma integrada (a que usamos na prova):
[A](t) = [A]_0 \, e^{-k t}.
Explicando cada símbolo:
  • [A](t) = concentração de A no tempo t.
  • [A]_0 = concentração inicial (em t=0).
  • k = constante de velocidade (unidade de t^{-1}, aqui \mathrm{s}^{-1}).
  • t = tempo no mesmo sistema de unidades da constante k (aqui em segundos).
  • Observação importante: se o volume é constante, a quantidade de matéria n decai na mesma razão que a concentração, porque [A]=n/V e V é constante. Assim podemos usar a mesma expressão trocando [A] por n:
n(t) = n_0 \, e^{-k t},
onde n(t) e n_0 são em mol. Essa forma evita calcular concentração se não precisamos dela.
  • Outra fórmula útil (meia-vida para primeira ordem):
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Aqui \ln 2 é o logaritmo natural de 2 (aprox. 0{,}693147).

Passo 3

Preparando os dados numéricos e conversões de unidades (muito importante):
  • Tempo pedido em (a): 2{,}5 minutos. Como k está em \mathrm{s}^{-1}, converto minutos para segundos:
t = 2{,}5\\ \text{min} = 2{,}5\times 60\\ \text{s} = 150\\ \text{s}.
  • Valores que vamos usar na expressão n(t)=n_0 e^{-k t}:
    • n_0 = 0{,}0520\\ \mathrm{mol}.
    • k = 6{,}82\times 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • t = 150\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo do item (a): quantidade de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5} após 2{,}5 min.
  • Usando
n(t) = n_0\,e^{-k t},
substituo os valores:
n(150) = 0{,}0520\;e^{-(6{,}82\times10^{-3})(150)}.
  • Calculo do expoente:
(6{,}82\times10^{-3})\times 150 = 1{,}023.
  • Então
n(150) = 0{,}0520\;e^{-1{,}023}.
  • Avaliando e^{-1{,}023}:
e^{-1{,}023}\approx 0{,}3597\quad(\text{aproximação numérica}).çãé
  • Portanto
n(150)\approx 0{,}0520\times 0{,}3597 \approx 0{,}0187\\ \mathrm{mol}.
  • Interpretação: após 2{,}5 min sob essas condições restam cerca de 0{,}0187 mol de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5}.

Passo 5

Cálculo do item (b): tempo necessário para que n(t)=0{,}010\\ \mathrm{mol}.
  • Usamos a mesma relação integrada e resolvemos para t:
n(t) = n_0\,e^{-k t} \quad\Rightarrow\quad e^{-k t} = \frac{n(t)}{n_0}.
Tomando logaritmo natural:
-kt = \ln\!\left(\frac{n(t)}{n_0}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{n(t)}{n_0}\right).
É equivalente e mais estável numericamente usar \ln(n_0/n(t)):
t = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{n_0}{n(t)}\right).
  • Substituo n_0=0{,}0520\\ \mathrm{mol} e n(t)=0{,}010\\ \mathrm{mol}:
\frac{n_0}{n(t)}=\frac{0{,}0520}{0{,}010}=5{,}20.
  • Calculo do logaritmo:
\ln(5{,}20)\approx 1{,}6487.
  • Agora
t = \frac{1{,}6487}{6{,}82\times10^{-3}}\\ \mathrm{s}.
  • Avaliando:
\frac{1{,}6487}{6{,}82\times10^{-3}}\approx 241{,}7\\ \mathrm{s}.
  • Converto para minutos:
241{,}7\\ \mathrm{s} \div 60 \approx 4{,}03\\ \text{min}.
  • Interpretação: são necessários aproximadamente 4{,}03 minutos para a quantidade cair a 0{,}010\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Cálculo do item (c): meia-vida de \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{5} (primeira ordem).
  • Fórmula da meia-vida para reação de primeira ordem:
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.
  • Substituo k=6{,}82\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1} e \ln 2\approx 0{,}693147:
t_{1/2} = \frac{0{,}693147}{6{,}82\times10^{-3}}\\ \mathrm{s}.
  • Avaliando:
t_{1/2}\approx 101{,}6\\ \mathrm{s}.
  • Converto para minutos:
101{,}6\\ \mathrm{s}\div 60 \approx 1{,}69\\ \text{min}.
  • Interpretação: a meia-vida é cerca de 101{,}6 s, ou 1{,}69 min.

Resposta

(a) 0{,}0187\\ \mathrm{mol}
(b) 4{,}03\\ \text{min}
(c) t_{1/2}=101{,}6\\ \mathrm{s}\approx 1{,}69\\ \text{min}

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