Q 106 Derive cada uma das funções dadas abaixo:
f(x)=1-x^21+x^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=1 - x^21 + x^2
Aqui vamos usar o quociente de derivadas: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2

Passo 2

Identificamos
u(x)=1 - x^2, v(x)=1 + x^2

Passo 3

Derivamos cada parte:
u'(x)=ddx(1 - x^2)=-2x, v'(x)=ddx(1 + x^2)=2x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =(-2x)(1 + x^2) - (1 - x^2)(2x)(1 + x^2)^2

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
(-2x)(1 + x^2) - (1 - x^2)(2x) =-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3 =-4x
Logo,
f'(x)=-4x(1 + x^2)^2

Resposta

f'(x)=-4x(1 + x^2)^2

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