Q 106 Derive cada uma das funções dadas abaixo:
f(x)=2(x^2+2 x+1) tg(x);

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=2l(x^2+2x+1r)tan(x)
O conteúdo aqui é a regra do produto e a derivada de tan(x). Vamos chamar
u(x)=2l(x^2+2x+1r), v(x)=tan(x)
para usar depois f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 2

Calculamos u'(x). Note que
u(x)=2(x^2+2x+1)=2(x+1)^2
Usando a regra da cadeia em 2,(x+1)^2, temos
u'(x)=2cdot 2(x+1)cdot 1 =4(x+1)

Passo 3

Agora calculamos v'(x). Como sabemos que
ddxtan(x)=sec^2(x),
segue
v'(x)=sec^2(x)

Passo 4

Aplicando a regra do produto f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), obtemos
f'(x)=4(x+1),tan(x) ;+;2(x^2+2x+1),sec^2(x)
Podemos reescrever x^2+2x+1=(x+1)^2, ficando
f'(x)=4(x+1)tan(x)+2(x+1)^2sec^2(x)

Resposta

f'(x)=4(x+1)tan(x)+2(x+1)^2sec^2(x)

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