Seja (
) um espaço métrico. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações.
Sejam
subconjuntos conexos. Suponha que
para todo
. Logo
é um conjunto conexo.
Sejam
Passo 1
O enunciado está em um espaço métrico
e trata de conectividade de subconjuntos. Temos uma sequência
em que cada
é conexo e satisfaz
Queremos mostrar que
é também conexo.
Para isso, vamos usar duas ideias principais:
Para isso, vamos usar duas ideias principais:
- A união de dois conjuntos conectos que têm interseção não–vazia é conectada.
- Extender esse fato por indução finita e depois tratar o caso da união infinita.
Passo 2
Provar que, se
e
são conectos e
, então
é conectado.
Suponha, por absurdo, que exista uma separação em conjuntos abertos e disjuntos tal que
Suponha, por absurdo, que exista uma separação em conjuntos abertos e disjuntos
Como
é conexo, temos ou
ou
. Sem perda de generalidade, digamos
.
Mas e
é conexo. Note que
e
são abertos em
(já que
são abertos em
) e satisfazem
Mas
Como
é conexo e
(pois
), segue que
. Portanto
.
Logo
Logo
o que contradiz a hipótese de que
e
separavam
e
.
Conclusão: é conectado.
Conclusão:
Passo 3
Construir por indução finita conjuntos
- Base (
): é conexo por hipótese. - Passo indutivo: suponha
conexo. Como é conexo e , pelo Passo 2 temos
é conexo.
Logo, por indução, cada é conexo.
Logo, por indução, cada
Passo 4
Mostrar que a união infinita
é conectado.
Suponha, por absurdo, que exista separação
Suponha, por absurdo, que exista separação
com
abertos em
, disjuntos e não vazios. Como
, ou
ou
. Sem perda, digamos
.
Agora, para cada , temos
por argumento idêntico ao do Passo 2 (pois
é conexo e intersecta
, forçando
, logo
).
Assim, toda cadeia fica em
, e portanto
Agora, para cada
Assim, toda cadeia
o que implica
, contradição.
Logo não há tal separação, e é conexo.
Logo não há tal separação, e
Resposta
A afirmação é verdadeira. A união
é um conjunto conectado.