Seja ( M, d ) um espaço métrico. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações.
Sejam
Xn subset M, n=1,2,3, ldots subconjuntos conexos. Suponha que
Xn cap Xn+1 neq emptyset para todo n in1,2,3, ldots. Logo
cupn in N Xn é um conjunto conexo.

Passo 1

O enunciado está em um espaço métrico (M,d) e trata de conectividade de subconjuntos. Temos uma sequência XnninN em que cada Xn é conexo e satisfaz
Xn cap Xn+1neqemptyset para todo ninN
Queremos mostrar que
X ;=;cupn=1^inftyXn
é também conexo.
Para isso, vamos usar duas ideias principais:
  1. A união de dois conjuntos conectos que têm interseção não–vazia é conectada.
  2. Extender esse fato por indução finita e depois tratar o caso da união infinita.

Passo 2

Provar que, se A e B são conectos e Acap Bneqemptyset, então Acup B é conectado.
Suponha, por absurdo, que exista uma separação em conjuntos abertos e disjuntos U,Vsubset M tal que
Acup B ;=; U;dotcup;V
Como A é conexo, temos ou Asubset U ou Asubset V. Sem perda de generalidade, digamos Asubset U.
Mas Acap Bneqemptyset e B é conexo. Note que Ucap B e Vcap B são abertos em B (já que U,V são abertos em M) e satisfazem
(Ucap B)cup(Vcap B)=B, (Ucap B)cap(Vcap B)=emptyset
Como B é conexo e Ucap Bneqemptyset (pois Acap Bsubset Ucap B), segue que Vcap B=emptyset. Portanto Bsubset U.
Logo
Acup B;subset;U,
o que contradiz a hipótese de que U e V separavam Acup B e Vneqemptyset.
Conclusão: Acup B é conectado.

Passo 3

Construir por indução finita conjuntos
Y1 = X1, Yn = X1cup X2cupcdotscup Xn
  • Base ( n=1): Y1=X1 é conexo por hipótese.
  • Passo indutivo: suponha Yn conexo. Como Xn+1 é conexo e Yncap Xn+1supset Xncap Xn+1neqemptyset, pelo Passo 2 temos
Yn+1 =Yncup Xn+1
é conexo.
Logo, por indução, cada Yn é conexo.

Passo 4

Mostrar que a união infinita X=cupn=1^inftyYn é conectado.
Suponha, por absurdo, que exista separação
X = U ;dotcup; V,
com U,V abertos em M, disjuntos e não vazios. Como Y1subset X, ou Y1subset U ou Y1subset V. Sem perda, digamos Y1subset U.
Agora, para cada n, temos Ynsubset U por argumento idêntico ao do Passo 2 (pois Yn é conexo e intersecta Xn+1neemptyset, forçando Xn+1subset U, logo Yn+1subset U).
Assim, toda cadeia Yn fica em U, e portanto
X=cupn=1^infty Yn;subset;U,
o que implica V=emptyset, contradição.
Logo não há tal separação, e X é conexo.

Resposta

A afirmação é verdadeira. A união cupninNXn é um conjunto conectado.

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