Exercício 1.12.3. Utilizando os limites fundamentais, calcule os limites:
lim x 0 1-2^tg(x)tg(x)

Passo 1

O enunciado pede
limx to 0 1 - 2^tan(x)tan(x)
O conteúdo principal são os limites fundamentais de exponenciais, em particular
limu to 0 a^u - 1u = ln(a)
Para aplicar esse resultado, vamos usar a substituição u = tan(x).

Passo 2

Fazendo u = tan(x), quando x to 0 temos u to 0. Logo
limx to 0 1 - 2^tan(x)tan(x) = limu to 0 1 - 2^uu

Passo 3

No limite em u, observe que
1 - 2^uu = -2^u - 1u
Assim fica claro a forma que permite usar o limite fundamental.

Passo 4

Pelo limite fundamental para a=2, sabemos
limu to 0 2^u - 1u = ln(2)
Portanto
limu to 0 1 - 2^uu = -ln(2)

Resposta

-ln(2)

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