( ) 107. Urânio ( { }^{235} \mathrm{U} ) é o combustível utilizado na geração de energia nuclear. Da mesma forma que uma usina termoelétrica utiliza a energia térmica gerada pela combustão de óleo combustível, carvão ou gás, uma usina nuclear utiliza a energia gerada pela reação de fissão nuclear de urânio. Encontre uma expressão para distribuição de temperaturas em estado estacionário num elemento combustível de um reator nuclear, de raio r_{0}, comprimento L e material isotrópico. Considerando que ocorre convecção na superfície, que o problema é simétrico e unidimensional e sabendo-se que a temperatura é máxima no centro do cilindro, calcule \mathrm{T}_{\mathrm{s}}.

Passo 1

O enunciado descreve um elemento combustível cilíndrico de raio r_{0} e comprimento L, com geração volumétrica de calor \dot G (W/ m^{3}), condutividade térmica constante k (W/ m\cdot K) e convecção na superfície externa com coeficiente h (W/ m^{2} \cdotK) para um fluido a T_{\infty}. O problema é unidimensional radial e estacionário, e há simetria em torno do eixo, de modo que
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\frac{dT}{dr}\Bigr)+\frac{\dot G}{k}=0
é a equação a resolver. Queremos a distribuição de temperatura T(r) e, em particular, a temperatura de superfície T_{s}=T(r_{0}).

Passo 2

Integramos a equação de condução radial com geração. Escrevendo
\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\frac{dT}{dr}\Bigr)=-\frac{\dot{G}}{k}\,r
integramos uma vez em r:
r\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{G}}{2k}\,r^{2}+C_{1}
Logo
\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{G}}{2k}\,r+\frac{C_{1}}{r}.
Pela condição de simetria no centro ( r=0), \frac{dT}{dr} deve permanecer finito, o que obriga C_{1}=0. Então
\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{G}}{2k}\,r.

Passo 3

Integramos de novo para achar T(r):
T(r)=-\frac{\dot G}{4k}\,r^{2}+C_{2}.
Para determinar C_{2} e a temperatura de superfície T_{s}=T(r_{0}), aplicamos a condição de contorno convectiva em r=r_{0}:
-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_{0}} =h\bigl(T_{s}-T_{\infty}\bigr).
Como \frac{dT}{dr}\big|_{r_{0}}=-\frac{\dot G}{2k}\,r_{0}, o fluxo conduzido vale
-k\Bigl(-\frac{\dot G}{2k}\,r_{0}\Bigr) =\frac{\dot G}{2}\,r_{0}
e igualamos a h(T_{s}-T_{\infty}). Assim,
\frac{\dot G}{2}\,r_{0}=h\bigl(T_{s}-T_{\infty}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad T_{s}=T_{\infty}+\frac{\dot G\,r_{0}}{2\,h}.

Passo 4

Com T_{s} conhecido, achamos C_{2} usando
T(r_{0})=T_{s} =-\frac{\dot G}{4k}\,r_{0}^{2}+C_{2} \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=T_{s}+\frac{\dot G}{4k}\,r_{0}^{2}.
Portanto a solução completa é
T(r) =-\frac{\dot G}{4k}\,r^{2} +T_{s}+\frac{\dot G}{4k}\,r_{0}^{2} =T_{s}+\frac{\dot G}{4k}\bigl(r_{0}^{2}-r^{2}\bigr).

Resposta

T(r)=T_{s}+\dfrac{\dot G}{4k}\bigl(r_{0}^{2}-r^{2}\bigr)
com
\boxed{T_{s}=T_{\infty}+\frac{\dot G\,r_{0}}{2\,h}}.

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