( ) 95. Deduza a expressão do raio crítico de uma esfera de raio externo R_{1} com revestimento de raio R_{\text {iso }}. A temperatura da superfície da interface da esfera com o revestimento é T_{1}, ou seja, T\left(r=R_{1}\right)=T_{1}. A esfera está exposta às condições do ambiente externo à T_{\infty} e h_{e}.

Passo 1

O problema é o de condução estacionária de calor numa esfera de raio interno R_{1} revestida por um material de condutividade térmica k até o raio externo R_{\text{iso}}, em que na interface r=R_{1} a temperatura é T_{1} e na superfície externa ocorre convecção para o ambiente a T_{\infty} com coeficiente h_{e}. Queremos encontrar o valor de R_{\text{iso}} que torna extremal o fluxo de calor, ou seja, o raio crítico de isolamento.

Passo 2

Escrevemos as resistências térmicas em série:
– Resistência à condução no revestimento esférico, entre r=R_{1} e r=R_{\text{iso}}:
R_{\text{cond}} =\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{\text{iso}}}\Bigr).
– Resistência à convecção na superfície externa r=R_{\text{iso}}:
R_{\text{conv}} =\frac{1}{h_{e}\,4\pi R_{\text{iso}}^{2}}.
Logo, a resistência térmica total é
R_{\text{tot}}(R_{\text{iso}}) =R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}} =\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{\text{iso}}}\Bigr) +\frac{1}{4\pi h_{e}R_{\text{iso}}^{2}}.

Passo 3

O fluxo de calor é
Q =\frac{T_{1}-T_{\infty}}{R_{\text{tot}}(R_{\text{iso}})}.
Para determinar o raio crítico fazemos dQ/dR_{\text{iso}}=0. Equivalente e mais simples é fazer
\frac{dR_{\text{tot}}}{dR_{\text{iso}}}=0,
pois Q é função monótona de 1/R_{\text{tot}}.

Passo 4

Calculamos a derivada:
R_{\text{tot}}(R_{\text{iso}}) =\frac{1}{4\pi kR_{1}} -\frac{1}{4\pi k}\,R_{\text{iso}}^{-1} +\frac{1}{4\pi h_{e}}\,R_{\text{iso}}^{-2}.
Desprezando o termo constante \tfrac1{4\pi kR_{1}}, temos
\frac{dR_{\text{tot}}}{dR_{\text{iso}}} =\frac{1}{4\pi k}\,R_{\text{iso}}^{-2} -\,\frac{2}{4\pi h_{e}}\,R_{\text{iso}}^{-3} =0.
Multiplicando por 4\pi R_{\text{iso}}^{3} resulta
\frac{1}{k}\,R_{\text{iso}} =\frac{2}{h_{e}} \quad\Longrightarrow\quad R_{\text{iso}} =\frac{2\,k}{h_{e}}.

Resposta

O raio crítico do revestimento esférico é
R_{\text{cr}} =\frac{2\,k}{h_{e}}.

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