( ) 95. Deduza a expressão do raio crítico de uma esfera de raio externo
com revestimento de raio
. A temperatura da superfície da interface da esfera com o revestimento é
, ou seja,
. A esfera está exposta às condições do ambiente externo à
e
.
Passo 1
O problema é o de condução estacionária de calor numa esfera de raio interno
revestida por um material de condutividade térmica
até o raio externo
, em que na interface
a temperatura é
e na superfície externa ocorre convecção para o ambiente a
com coeficiente
. Queremos encontrar o valor de
que torna extremal o fluxo de calor, ou seja, o raio crítico de isolamento.
Passo 2
Escrevemos as resistências térmicas em série:
– Resistência à condução no revestimento esférico, entre e
:
– Resistência à condução no revestimento esférico, entre
– Resistência à convecção na superfície externa
:
Logo, a resistência térmica total é
Passo 3
O fluxo de calor é
Para determinar o raio crítico fazemos
. Equivalente e mais simples é fazer
pois
é função monótona de
.
Passo 4
Calculamos a derivada:
Desprezando o termo constante
, temos
Multiplicando por
resulta
Resposta
O raio crítico do revestimento esférico é