Use a transformada de Laplace para encontrar a solucap y(t) do problema dado.
y^(4)-y=0 y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^(4) - y = 0
com condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=1, y'''(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos aplicar L,cdot, em ambos os lados, usar as fórmulas para derivadas e inverter no final.

Passo 2

Aplique a transformada de Laplace em y^(4)-y=0. Como
Ly^(4)(s)=s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s,y''(0)-y'''(0)
e Ly(s)=Y(s), substituindo as condições iniciais obtemos
l[s^4Y(s)-s^3cdot1 - s^2cdot0 - scdot1 - 0r];-;Y(s);=;0

Passo 3

Reescrevendo a equação algébrica em Y(s):
s^4Y(s)-l(s^3+sr)-Y(s)=0 Longrightarrow l(s^4-1r)Y(s)=s^3+s Longrightarrow Y(s)=s^3+ss^4-1

Passo 4

Fatore o numerador e denominador:
s^4-1=(s^2-1)(s^2+1), s^3+s=s(s^2+1)
Logo
Y(s)=s(s^2+1)(s^2-1)(s^2+1) =ss^2-1 =s(s-1)(s+1)

Passo 5

Faça frações parciais para
s(s-1)(s+1)=As-1+Bs+1
Temos
s = A(s+1)+B(s-1) = (A+B)s + (A-B)
Igualando coeficientes:
A+B=1, A-B=0Longrightarrow A=B=tfrac12
Assim
Y(s)=121s-1+121s+1

Passo 6

Inverta pela tabela de Laplace:
L^-1!ltfrac1s-1r=e^t, L^-1!ltfrac1s+1r=e^-t
Portanto
y(t)=tfrac12e^t+tfrac12e^-t=cosh(t)

Resposta

y(t)=cosh(t)

Exercícios relacionados