7)Em uma região plana,um projétil é lançado do solo para cima, com velocidade de 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ,em uma direção que faz 60^{\circ} com a horizontal.Calcule o alcance atingido por esse projétil.

Passo 1

O enunciado dá um projétil lançado do solo com velocidade inicial \,v_0=400\\ \mathrm{m/s}\, numa direção que forma um ângulo \,60^\circ\, com a horizontal. Pede-se o alcance atingido pelo projétil, ou seja, a distância horizontal percorrida desde o ponto de lançamento até o ponto de aterrissagem, supondo movimento sobre um plano (terreno plano) e aceleração da gravidade constante. As informações relevantes são:
v_0=400\\ \mathrm{m/s},\qquad \theta=60^\circ,\qquad g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
A pergunta é: qual é o alcance R (em metros)?

Passo 2

Primeiro passo prático: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Explico por que fazemos isso: o movimento horizontal e o vertical são independentes (na aproximação usual, sem resistência do ar). Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para essa decomposição:
v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.
Aqui v_{0x} é a velocidade inicial horizontal (constante durante o voo se desprezarmos resistência do ar) e v_{0y} é a velocidade inicial vertical (que é afetada pela gravidade). Agora calculamos numericamente usando \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
v_{0x}=400\cdot\frac{1}{2}=200\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=400\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora tratamos do tempo total de voo. A componente vertical segue um movimento uniformemente variado com aceleração -g. A altura volta ao solo quando a posição vertical volta a zero; pelo caráter simétrico do lançamento (mesma altura inicial e final), o tempo total de voo é o dobro do tempo para alcançar o ponto mais alto. O tempo para subir até o pico é
t_{\text{up}}=\frac{v_{0y}}{g},
logo o tempo total de voo é
t_{\text{total}}=2\,t_{\text{up}}=\frac{2v_{0y}}{g}.
Substituindo v_{0y}=200\sqrt{3}:
t_{\text{total}}=\frac{2\cdot 200\sqrt{3}}{9,8}=\frac{400\sqrt{3}}{9,8}\\ \mathrm{s}.
Se quiser uma aproximação numérica, calculando \sqrt{3}\approx 1,73205,
t_{\text{total}}\approx\frac{400\cdot 1,73205}{9,8}\approx 70,70\\ \mathrm{s}.
(Isso significa: o projétil fica no ar cerca de 71 segundos — bastante tempo!)

Passo 4

Agora achamos o alcance horizontal R. Como a velocidade horizontal é constante igual a v_{0x}, o alcance é
R=v_{0x}\cdot t_{\text{total}}.
Substituindo as expressões já obtidas:
R=v_{0x}\cdot\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}.
Usando identidades trigonométricas, 2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta), podemos escrever uma forma mais compacta
R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
Essa fórmula é muito prática na prova: ela é obtida ao substituir v_{0x}=v_0\cos\theta e v_{0y}=v_0\sin\theta.

Passo 5

Aplicamos a fórmula com nossos valores. Primeiro calcule \sin(2\theta) com \theta=60^\circ:
\sin(2\theta)=\sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Então
R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}=\frac{(400)^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{9,8}.
Simplificando os números:
(400)^2=160000,\quad 160000\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=80000\sqrt{3},
portanto
R=\frac{80000\sqrt{3}}{9,8}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Fazendo a avaliação numérica para apresentar um valor prático: com \sqrt{3}\approx 1,73205,
80000\sqrt{3}\approx 138564,06,
e dividindo por 9,8,
R\approx 14139,19\\ \mathrm{m}\approx 14,14\\ \mathrm{km}.
Interpretação rápida: o projétil, lançado muito rápido a 400\\ \mathrm{m/s} em 60^\circ, alcança cerca de 14{,}1\\ \mathrm{km} de alcance horizontal em condições ideais (sem resistência do ar).

Resposta

R\approx 14139{,}19\\ \mathrm{m}

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