7)Em uma região plana,um projétil é lançado do solo para cima, com velocidade de
,em uma direção que faz
com a horizontal.Calcule o alcance atingido por esse projétil.
Passo 1
O enunciado dá um projétil lançado do solo com velocidade inicial
numa direção que forma um ângulo
com a horizontal. Pede-se o alcance atingido pelo projétil, ou seja, a distância horizontal percorrida desde o ponto de lançamento até o ponto de aterrissagem, supondo movimento sobre um plano (terreno plano) e aceleração da gravidade constante. As informações relevantes são:
A pergunta é: qual é o alcance
(em metros)?
Passo 2
Primeiro passo prático: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Explico por que fazemos isso: o movimento horizontal e o vertical são independentes (na aproximação usual, sem resistência do ar). Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para essa decomposição:
Aqui
é a velocidade inicial horizontal (constante durante o voo se desprezarmos resistência do ar) e
é a velocidade inicial vertical (que é afetada pela gravidade). Agora calculamos numericamente usando
e
:
Passo 3
Agora tratamos do tempo total de voo. A componente vertical segue um movimento uniformemente variado com aceleração
. A altura volta ao solo quando a posição vertical volta a zero; pelo caráter simétrico do lançamento (mesma altura inicial e final), o tempo total de voo é o dobro do tempo para alcançar o ponto mais alto. O tempo para subir até o pico é
logo o tempo total de voo é
Substituindo
:
Se quiser uma aproximação numérica, calculando
,
(Isso significa: o projétil fica no ar cerca de 71 segundos — bastante tempo!)
Passo 4
Agora achamos o alcance horizontal
. Como a velocidade horizontal é constante igual a
, o alcance é
Substituindo as expressões já obtidas:
Usando identidades trigonométricas,
, podemos escrever uma forma mais compacta
Essa fórmula é muito prática na prova: ela é obtida ao substituir
e
.
Passo 5
Aplicamos a fórmula com nossos valores. Primeiro calcule
com
:
Então
Simplificando os números:
portanto
Passo 6
Fazendo a avaliação numérica para apresentar um valor prático: com
,
e dividindo por
,
Interpretação rápida: o projétil, lançado muito rápido a
em
, alcança cerca de
de alcance horizontal em condições ideais (sem resistência do ar).