11-12 Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a\) para os quais \(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\) existe: 11. \(f(x)= \begin{cases}1+x & \text { se } x<-1 \\\ x^{2} & \text { se }-1 \leqslant x<1 \\\\ 2-x & \text { se } x \geqslant 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 1+x & \text{se } x<-1,\\[4pt] x^{2} & \text{se } -1\leqslant x<1,\\[4pt] 2-x & \text{se } x\geqslant 1. \end{cases}
A pergunta é: para quais valores de a existe \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)?
Vou listar as informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função está definida em toda a reta real, por partes.
  • Há possíveis pontos problemáticos nos pontos onde a definição muda: x=-1 e x=1.
    Nada mais é pedido aqui além de determinar os a onde o limite existe.]

Passo 2

Conceito útil (mini-aula rápida e prática). Para que o limite \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) exista, é necessário e suficiente que as duas condições abaixo ocorram simultaneamente:
  • exista o limite pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x),
  • exista o limite pela direita \displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x),
    e que esses dois limites sejam iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Explicando sem jargão: olhar para o valor que f(x) se aproxima vindo de x menores que a e o valor que f(x) se aproxima vindo de x maiores que a; só existe o limite total se esses dois forem o mesmo número.
Outra ideia importante e prática para provas: polinômios (como 1+x, x^2, 2-x) são funções contínuas em todo lugar; portanto, se a estiver estritamente dentro de uma região onde f é dado por um desses polinômios (por exemplo a<-1, ou -1<a<1, ou a>1), então o limite em a existe e é simplesmente o valor obtido por substituir x=a naquela expressão (propriedade da continuidade).

Passo 3

Aplicando a ideia de continuidade às regiões internas (casos fáceis):
  • Se a<-1, perto de a a função é f(x)=1+x, que é linear e contínua. Logo
\lim_{x\to a} f(x)=1+a \quad\text{para todo } a<-1.
  • Se -1<a<1, perto de a a função é f(x)=x^2, contínua. Logo
\lim_{x\to a} f(x)=a^{2} \quad\text{para todo } -1<a<1.
  • Se a>1, perto de a a função é f(x)=2-x, contínua. Logo
\lim_{x\to a} f(x)=2-a \quad\text{para todo } a>1.
Esses casos cobrem todos os pontos que não são as fronteiras -1 e 1. Portanto, para qualquer a que não seja -1 ou 1, o limite existe (porque cada região é dada por um polinômio contínuo).

Passo 4

Agora analisar o ponto crítico a=-1 (a junção entre as duas primeiras peças). Precisamos das duas mono-laterais:
  • Limite pela esquerda quando x\to -1^{-}: nessa região f(x)=1+x, então
\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=\lim_{x\to -1^{-}} (1+x)=1+(-1)=0.
  • Limite pela direita quando x\to -1^{+}: nessa região f(x)=x^2, então
\lim_{x\to -1^{+}} f(x)=\lim_{x\to -1^{+}} x^{2}=(-1)^{2}=1.
Os dois limites laterais são diferentes ( 0 à esquerda e 1 à direita). Portanto a condição de igualdade das mono-laterais falha, e assim
\lim_{x\to -1} f(x)\\ \text{não existe.}ã
Intuição gráfica rápida: a reta 1+x se aproxima do ponto (-1,0) pela esquerda, enquanto o ramo x^2 tem o ponto (-1,1) (aqui f(-1)=1). Há um “salto” — é uma descontinuidade do tipo salto.

Passo 5

Analisar o ponto crítico a=1 (junção entre a segunda e a terceira peça). Calcular os limites laterais:
  • Limite pela esquerda quando x\to 1^{-}: na região -1\le x<1 temos f(x)=x^{2}, então
\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{-}} x^{2}=1^{2}=1.
  • Limite pela direita quando x\to 1^{+}: na região x\ge 1 temos f(x)=2-x, então
\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} (2-x)=2-1=1.
As mono-laterais são iguais (ambas 1), portanto
\lim_{x\to 1} f(x)=1.
Observação amena: neste caso o limite existe e, de fato, f(1)=2-1=1, então a função é contínua em x=1.

Passo 6

Resumo e conclusão final, juntando os resultados:
  • Em todas as posições estritamente internas às peças ( a<-1, -1<a<1, a>1) o limite existe por continuidade dos polinômios.
  • Em a=-1 o limite não existe (mono-laterais diferentes).
  • Em a=1 o limite existe (mono-laterais iguais e valem 1).
    Portanto o limite existe para todo a\in\mathbb{R} exceto a=-1. Força aí — a parte mais difícil foi justamente checar os pontos de mudança, e já fizemos isso direitinho.

Resposta

O limite existe para todo a\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

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