1. Desafio: determine o valor de a na equação \log _{5} \sqrt{a}+\log _{a} 125=\log _{5} a^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: determinar o valor de a na equação
\log_{5}\sqrt{a}+\log_{a}125=\log_{5}a^{2}.
  • Informações explícitas que temos:
    • Aparecem logaritmos com base 5 e base a.
    • Há uma raiz quadrada \sqrt{a} e uma potência a^{2}.
  • O que o problema pede: encontrar todos os valores de a que satisfazem a equação dada, lembrando que para logaritmos as bases e argumentos devem respeitar as condições de existência.

Passo 2

Analisar as restrições de existência (domínio) dos logaritmos, que é fundamental antes de manipular a equação.
  • Para \log_{5}\sqrt{a} o argumento \sqrt{a} precisa ser positivo, ou seja \sqrt{a}>0. Isso implica a>0. (Note que \sqrt{a}=0 daria log de zero, que não é permitido.)
  • Para \log_{a}125 a base a precisa ser positiva e diferente de 1: a>0 e a\neq1. O argumento 125 é positivo, então não traz restrição adicional.
  • Em resumo, o domínio exige a>0 e a\neq1.

Passo 3

Simplificar cada termo usando propriedades elementares de logaritmos. Vou explicar as propriedades usadas.
  • Propriedade 1 (potência dentro do log): \log_b (x^{r}) = r\log_b x. Aqui aplicamos a \log_{5}\sqrt{a}=\log_{5}(a^{1/2}). \log_{5}\sqrt{a}=\log_{5}(a^{1/2})=\tfrac{1}{2}\log_{5}a.Explicando: a raiz quadrada é a^{1/2}, e ao tirar o expoente para frente do log multiplicamos por esse expoente.

Passo 4

Transformar \log_{a}125 em expressão que envolva \log_{5}a, para trabalhar tudo com a mesma “moeda” ( \log_{5}a).
  • Primeiro escrevemos 125=5^{3}, então \log_{a}125=\log_{a}(5^{3})=3\log_{a}5,usando a mesma propriedade acima.
  • Agora usamos a fórmula de troca de base (change of base): para bases positivas distintas, \log_{u}v=\frac{\log_{k}v}{\log_{k}u},onde k é qualquer base conveniente (usamos k=5). Assim \log_{a}5=\frac{\log_{5}5}{\log_{5}a}=\frac{1}{\log_{5}a},porque \log_{5}5=1.
  • Portanto \log_{a}125=3\log_{a}5=\frac{3}{\log_{5}a}.

Passo 5

Simplificar o termo do lado direito \log_{5}a^{2} com a propriedade da potência.
  • Usando \log_{b}(x^{r})=r\log_{b}x, \log_{5}a^{2}=2\log_{5}a.

Passo 6

Substituir as expressões obtidas na equação original para reduzir tudo a uma equação em \log_{5}a.
  • A equação original era
    \log_{5}\sqrt{a}+\log_{a}125=\log_{5}a^{2}.
  • Substituindo os resultados dos passos anteriores:
    \tfrac{1}{2}\log_{5}a+\frac{3}{\log_{5}a}=2\log_{5}a.
  • Para simplificar a escrita, faça a substituição auxiliar
    x=\log_{5}a.
    Observação: pelas restrições de a temos a>0 e a\neq1, então x é definido e pode ser qualquer número real diferente de 0 (porque x=0 corresponde a a=1, que é proibido).
  • A equação em x fica
    \tfrac{1}{2}x+\frac{3}{x}=2x.

Passo 7

Resolver a equação em x. Vou proceder passo a passo e tomar cuidado com multiplicações por x (possível perda de soluções).
  • Primeiro, observar que x=0 não pertence ao domínio (corresponde a a=1), então podemos multiplicar por x sem perder soluções válidas.
  • Multiplique ambos os lados por 2x para eliminar denominadores: 2x\left(\tfrac{1}{2}x+\frac{3}{x}\right)=2x(2x).
  • Calcule cada lado:
    • Lado esquerdo: 2x\cdot\tfrac{1}{2}x + 2x\cdot\frac{3}{x} = x^{2} + 6.
    • Lado direito: 2x\cdot2x = 4x^{2}.
  • Igualando: x^{2}+6=4x^{2}.
  • Passar todos os termos para um lado: 0=4x^{2}-x^{2}-6=3x^{2}-6.
  • Isolar x^{2}: 3x^{2}=6 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=2.
  • Logo x=\pm\sqrt{2}.
  • Lembrando que já excluímos x=0, e x=\pm\sqrt{2} são diferentes de zero, então ambas são aceitáveis em termos da operação feita.

Passo 8

Voltar da variável auxiliar x para a usando x=\log_{5}a.
  • Se x=\sqrt{2}, então \log_{5}a=\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad a=5^{\sqrt{2}}.
  • Se x=-\sqrt{2}, então \log_{5}a=-\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad a=5^{-\sqrt{2}}.

Passo 9

Verificar rapidamente as restrições do domínio para as soluções encontradas.
  • Ambas as soluções a=5^{\sqrt{2}} e a=5^{-\sqrt{2}} são estritamente positivas e distintas de 1. O argumento 125 e \sqrt{a} são positivos. Portanto ambas satisfazem as condições a>0 e a\neq1.
  • Conclusão: ambas são soluções válidas da equação original.

Resposta

a=5^{\sqrt{2}}
a=5^{-\sqrt{2}}

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