- Desafio: determine o valor de
na equação
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado: determinar o valor de
na equação
- Informações explícitas que temos:
- Aparecem logaritmos com base
e base . - Há uma raiz quadrada
e uma potência .
- Aparecem logaritmos com base
- O que o problema pede: encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação dada, lembrando que para logaritmos as bases e argumentos devem respeitar as condições de existência.
Passo 2
Analisar as restrições de existência (domínio) dos logaritmos, que é fundamental antes de manipular a equação.
- Para
o argumento precisa ser positivo, ou seja . Isso implica . (Note que daria log de zero, que não é permitido.) - Para
a base precisa ser positiva e diferente de : e . O argumento é positivo, então não traz restrição adicional. - Em resumo, o domínio exige
e .
Passo 3
Simplificar cada termo usando propriedades elementares de logaritmos. Vou explicar as propriedades usadas.
- Propriedade 1 (potência dentro do log):
. Aqui aplicamos a . Explicando: a raiz quadrada é , e ao tirar o expoente para frente do log multiplicamos por esse expoente.
Passo 4
Transformar
em expressão que envolva
, para trabalhar tudo com a mesma “moeda” (
).
- Primeiro escrevemos
, então usando a mesma propriedade acima. - Agora usamos a fórmula de troca de base (change of base): para bases positivas distintas,
onde é qualquer base conveniente (usamos ). Assim porque . - Portanto
Passo 5
Simplificar o termo do lado direito
com a propriedade da potência.
- Usando
,
Passo 6
Substituir as expressões obtidas na equação original para reduzir tudo a uma equação em
.
-
A equação original era
-
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
-
Para simplificar a escrita, faça a substituição auxiliarObservação: pelas restrições de
temos e , então é definido e pode ser qualquer número real diferente de (porque corresponde a , que é proibido). -
A equação em
fica
Passo 7
Resolver a equação em
. Vou proceder passo a passo e tomar cuidado com multiplicações por
(possível perda de soluções).
- Primeiro, observar que
não pertence ao domínio (corresponde a ), então podemos multiplicar por sem perder soluções válidas. - Multiplique ambos os lados por
para eliminar denominadores: - Calcule cada lado:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
- Lado esquerdo:
- Igualando:
- Passar todos os termos para um lado:
- Isolar
: - Logo
- Lembrando que já excluímos
, e são diferentes de zero, então ambas são aceitáveis em termos da operação feita.
Passo 8
Voltar da variável auxiliar
para
usando
.
- Se
, então - Se
, então
Passo 9
Verificar rapidamente as restrições do domínio para as soluções encontradas.
- Ambas as soluções
e são estritamente positivas e distintas de . O argumento e são positivos. Portanto ambas satisfazem as condições e . - Conclusão: ambas são soluções válidas da equação original.